Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

154 KAPITEL 2. GRAVITATION
oder
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
Der beobachtbare Abstand ax der Komponente x vom Schwerpunkte ist durch die Umrechnung
gegeben.
ax =
Mc
Mx + Mc
(2.111)
a (2.112)
Aus dem Schwerpunktsatz folgt dann für die Beträge der Abstände
ma = Mxax = Mcac und mv = Mxvx = Mcvc (2.113)
Für die Amplitude des Dopplereffekts gilt für Komponente x:
vx = 2πax
T √ sin i (2.114)
1 − e2 oder explizit als Ellipse (Φ ist die wahre Anomalie, ω Periastron)
K = vx ; mit: �vx�nbeob = K[cos(Φ + ω) + e cos ω] (2.115)
Dabei ist ax der Abstand von Mx vom Schwerpunkt,
a = Mx + Mc
ax
Mc
und vx die Geschwindigkeit von Mx.
Für a gilt das Keplersche Gesetz, Glchg. (2.33), (Kepler III, reduziert auf das Einteilchen Problem)
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 (2.116)
(2.117)
Die Exzentrizität e kann aus der Bahnform (Geometrie) bestimmt werden (ω, der Periastron ebenfalls)
und damit ist dann ax sin i bestimmt. Die Größe f = f(Mx, Mc, i)
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
heißt Massenfunktion. Sie enthält nur Beobachtungsgrößen:
f(Mx, Mc, i) = Torb
2πG (vx sin i) 3 (1 − e 2 ) 3/2
(2.118)
und liefert eine Relation zwischen den 3 Unbekannten i, Mx und Mc (die Exzentrizität e muß, wie
bereits betont, aus der Bahnform bestimmt werden).
In Zahlen:
f(Mx, Mc, i) = 10 −7 M⊙(T/d) (Kx/km s −1 ) 3 (1 − e 2 ) 3/2 (2.119)
Wir erhalten sie, indem wir a aus (Kepler III), Glchg. (2.33), in der Form
� �2 2π
=
P
G(Mx + Mc)
a3 eliminieren. Das liefert
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
(2.120)
(2.121)