Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.1. GRUNDLAGEN 281
• FORMELN (DIE SCHWINGUNGSGLEICHUNG FÜR PULSATIONEN)
Wir betrachten der Einfachheit halber nur die Schwingungsgleichung für rein radiale Sternpulsationen. Für die Auslenkung
aus der Ruhlage ro setzen wir:
r(t, ro) = ro + ξ(r) e −iωt
d. h. ξ ist die Amplitude der Schwingung ω die Frequenz. Die thermodynamische Änderung des Gases während der Auslenkung
ist meist adiabatisch, eine wichtige Ausnahme bilden z. B. die Cepheiden. Die Schwingungsgleichung (Eddington,
1918) lautet
− ω 2 ρξ =
Mit den Randbedingungen
�
γP
r2 (r2ξ) ′
� ′
−
(5.45)
′ 4P
ξ (5.46)
r
ξ(r = 0) = 0 und ∆P (r = R) = −γP r −2 (r 2 ξ) ′ = 0 (5.47)
hat man eine (singuläre) Eigenwert - Aufgabe zu lösen.
Diese kann zu einem Variationsprinzip der Perioden umgeformt werden. Die Schwingungsgleichung ist selbstadjungiert.
Daraus folgt, daß die Eigenwerte ω 2 reell und diskret sind.
Mit den Definitionen
K = γP r −2
W = ρr 2
Q = −4P ′ r −3
ζ = ξr 2
wobei K, W, Q alle positiv sind, lautet das Variationsprinzip der Perioden:
ω 2 �
′ 2 2 (Kζ − Qζ )dr
= min �
W ζ2dr Sterne, für die ω 2 < 0 gilt, sind instabil.
Der Energiesatz für Sterne lautet:
(5.48)
(5.49)
d
dt (Ekin + Ugrav + Uint + Enuk) + (Lγ + Lν) = 0 (5.50)
Diese Gesamtbilanz spaltet sich auf in drei Einzelgleichungen.
Zunächst folgt für Sterne im hydrostatischen Gleichgewicht, daß die Gesamtenergie
Etot = Ugrav + Uint
ein Minimum ist.
d
dt (Ugrav + Uint) = 0 (5.51)
Der Energiesatz verlangt
d
dt (Uint + Enuk) + (Lγ + Lν) = 0 (5.52)
Die gesamte, im Innern erzeugte Energie wird abgestrahlt. Die dabei erzeugte Entropie pro Baryon ist
(im kosmologischen Massstab gemessen) bescheiden.
Und schließlich gilt genauer, daß bezüglich Auslenkungen aus der Ruhelage die Gesamtenergie Etot
eines Sterns extremal ist, mit den folgenden Eigenschaften: Die
1. Variation liefert das hydrostatische Gleichgewicht.
2. Variation liefert die Gleichung für die Sternpulsationen.
Diese Aussagen werden später bewiesen.