Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.2. ANALYTISCHE STERNMODELLE 285
welches die Potentialgleichung
∆V = 4πGρ mit ρ = � mδ 3 (�x − �x ′ ) (5.74)
erfüllt, und erhalten für die Gravitationsenergie
Ug = 1
�
2
ρ(�x)V (�x)d 3 x = 1
�
2
Im Falle kugelsymmetrischer Massenverteilung ist
V ′ =
G m(r)
r 2
V (�x)dm (5.75)
Lösung der Potentialgleichung und Glchg. (5.75) kann durch partielle Integration umgeformt werden zu
Ug = 1
�
2
V (r)m ′ (r)dr = [V (r)m(r)] ∞
0
�
1
−
2
(5.76)
V ′ (r)mdr (5.77)
Wir benutzen m(0) = V (∞) = 0 und Glchg. (5.76). Eine weitere partielle Integration liefert dann
Ug = − G
� 2 � ′ m (r)
m(r)m (r)
dr = −G
dr
2 r2 r
Wir erhalten schließlich, mit der Variablen dm = m ′ (r)dr, für die Gravitationsenergie den Ausdruck (5.70)
Uvib, Energie der Pulsation
Uvib = 1
2
�M
0
˙ξ 2 dm (5.78)
wobei ξ die Amplitude und v = ˙ ξ die makroskopische Geschwindigkeit der Materie sind.
Trägheitstensor, I, und I, Trägheitsmoment
bzw.
Iab =
Ĩ, Trägheitsmoment der Pulsation
Ĩ =
�M
0
�
ρd 3 x(r 2 δab − xaxb) (5.79)
r 2 dm und I = 2
Ĩ (5.80)
3
Hydrostatisches Gleichgewicht
Die Bedingung für das hydrostatische Gleichgewicht – chemisches Gleichgewicht im äusseren Gravitationsfeld –
lautet:
w + V =
� dp
ρ
+ V = const = −G M
R
wobei w die freie Enthalpie und V das Gravitationspotential ist, oder
µ ′ + mV ′ = 0 d. h. µ + mV = const =
dabei ist m die Masse und µ das chemische Potential
−G mM
R
(5.81)
(5.82)
µ = mw (5.83)