Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 133
P, Umlaufperiode,
V , Schwerpunktsgeschwindigkeit � V = d � R/dt.
Die hier benutzte Größe α ist also nicht wie sonst die Feinstrukturkonstante, sondern die vorzeichenlose Kopplungsstärke.
Die Wechselwirkungsenergie U(r) kann mithilfe des Potentials Φ auch wie folgt geschrieben werden.
U = m1Φ bzw. U = Z1eΦ
Die beiden Massenpunkte haben die Indizes 1 und 2. Für ein Teilchen gelten die folgenden Definitionen.
Für ein Teilchen
Impuls (Massenpunkt 1)
�p1 = m1�v1
Drehimpuls (Massenpunkt 1)
�j1 = �r1 × �p1
Für beide Massenpunkte mit Wechselwirkung zusammen
Gesamtenergie
oder
E = T + U = 1
E = − α(1 − e2 )
2p
Gesamtdrehimpuls
mit
2m1
(2.1)
(2.2)
p 2 1 + m2
2 v2 2 + U(|�x2 − �x1|) (2.3)
= − α
2a
�J = �r1 × �p1 + �r2 × �p2
PJ = 2mπab = 2mπp2
(1 − e 2 ) 3/2
Die Bahn ist eine Ellipse
p
= 1 + e cos φ (Kepler I) (2.7)
r
wo e die Exzentizität und p der Parameter der Ellipse sind. Damit gilt für die rein geometrischen Größen
p = α
� �2 J
m α
;
�
e = 1 + 2Ep
α
und letzteres umgekehrt in rein physikalischen Größen
und
e 2 − 1 =
2
G2m2 2
EJ
M 3
P = 2πa 3/2
� �
m m
= πα
α |E| 3
Die Newtonsche Gravitationstheorie ist eine Fernwirkungstheorie, die Kraft zwischen zwei Teilchen
wirkt instantan. Die Newtonsche Bewegungsgleichung zweier Massenpunkte mit Indizes 1 und 2 und
dem Abstand r = |�x1 − �x2| für den Fall rein gravischer Wechselwirkung lautet:
d�v1
m1
dt
d�v2
m2
dt
�x1 − �x2
= −Gm1m2
r3 12
�x2 − �x1
= −Gm1m2
r3 21
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Addition der beiden Gleichungen liefert ˙ V = 0, oder für die Schwerpunktsgeschwindigkeit � V =
d � R/dt = const. Im Schwerpunktsystem ist (per definitionem) const = � V = 0 und zusätzlich � R = 0.