Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

162 KAPITEL 2. GRAVITATION
• BEISPIEL (DIE 21-CM LINIE)
Wir stellen zunächst einige Eigenschaften des H-Atoms (Z = 1) im Grundzustand zusammen. Dieser wird aufgespalten
durch die Hyperfein Wechselwirkung des mag. Moments des Elektrons, geµe, mit dem des Protons, gpµp. Die (vorzeichenlose)
Größe
µB = e¯h
2mec = 9.273 · 10−21 erg/Gauss (2.130)
heißt Bohrsches Magneton des Elektrons und liefert die Grundeinheit für die Wechselwirkung im Magnetfeld. Mit dem
Landé-Faktor
G(L) = 1 +
J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)
2J(J + 1)
(2.131)
gilt für die Energieaufspaltung eines Teilchens mit Spin S, Bahndrehimpuls L und Gesamtdrehimpuls J = L + S im
äusseren Magnetfeld B
∆E = G(L)mJ�µe � B mit mJ = −J, −J + 1, . . . , J (2.132)
Die Größe mJ ist die magnetische Quantenzahl, die Aufspaltung heißt (anomaler) Zeeman-Effekt. Das magnetische Moment
des Elektrons ist gegeben durch µ B..
Teilchen ohne Spin (S = 0) haben g = G = 1 und für L = 0 heißt G auch das gyromagnetische Verhältnis. Für Elektronen
ist ge ≈ 2 und demnach
�µe = −geµ B � S (2.133)
wobei ¯h � S der Spinoperator ist.
Proton und Neutron haben ebenfalls ein magnetisches Moment, welches in Einheiten des Kernmagnetons gemessen wird:
µK = e¯h
2mpc
= 5.05 · 10 −24 erg/Gauss (2.134)
Für die drei Grundbausteine Proton, Neutron und Deuteron gelten die folgenden empirischen Relationen:
Proton: gp = 5.5855 (anstatt 2)
Neutron: gn = −3.8270 (anstatt 0)
Deuteron: gD ≈ gp + gn.
Der Grundzustand von H hat die Quantenzahlen
(n, s, l, j, I, F ) = (1, 1
2
, 0, 1
2
1
, , F )
2
mit den zusätzlichen Quantenzahlen I für Kernspin (Multiplizität 2I+1 = 2) und F für den Gesamtdrehimpuls (F = j+I).
Die pot. Energie eines mag. Dipols im äusseren Magnetfeld des Protons (genähert als zwei Punktdipole, ausgerichtet längs
ihrer Achsen) beträgt klassisch Hdip = −�µ � B. In der Quantenmechanik wird daraus der Operator
HLS = e2
m 2 c 2
1
r 3 (� L � S)
Für die Hyperfeinaufspaltung des mag. Moments des Elektrons, geµe, mit dem des Protons, gpµp, erhält man damit folgende
Energie:
∆Ehfs = m ∗ c 2 � � 5 4
me Z α
gegp
2n5 � �
F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)
(2.135)
J(J + 1)(2L + 1)
mp
(m ∗ ist hier genauer die reduzierte Masse des Elektrons!) oder, wenn wir die Bindungsenergie des H-Atoms IH und den
Landé-Faktor einführen, mit
IH = 1
2 α2 m ∗ c 2
und G(F ) =
erhalten wir für die Hyperfeinaufspaltung der Energie
� � 5 2
me Z α
∆Ehfs = gegpIH
G(F )
n5 mp
F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)
J(J + 1)(2L + 1)