Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 167
Die Lagrange-Dichte Λf für das elektromagnetische Feld ist
Λem = − 1
16π F ab Fab
woraus, mit der Identität
∂ √ −g 1√
= − −g gab
∂gab 2
die symmetrische Energie-Impulstensor-Dichte für das quellfreie Feld (z. B. Photonen)
Tik = 1
�
−FilFk
4π
l + 1
4 (F ab �
Fab)gik
folgt. Wichtig ist hier die Identität (für die Spur)
T i i = 0 d. h. T 0 0 = T 1 1 + T 2 2 + T 3 3
Für ein isotropes Strahlungsfeld folgt damit die Zustandsgleichung für Photonen: ɛ = 3p.
Mit u i bezeichnen wir die 4-er Geschwindigkeit der Materie,
u i = dxi
ds
(2.148)
(2.149)
(2.150)
u i u k gik = 1 (2.151)
und Materie mit Druck p und Energiedichte ɛ (ɛ = ρc 2 ) wird durch einen Tensor der Form
beschrieben.
Tab = (ɛ + p)uaub − pgab
• FORMELN (DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN)
Die Einsteinschen Feldgleichungen für den gravischen Anteil folgen aus
δSg = − 1
�
R
2ˆκ
√ −g dΩ
c
Sie lauten (zusammen mit Materie) mit den Definitionen Glchg. (2.143)
und
Gab = ˆκTab
Rab = Riakbg ik
R = R ik gik
(2.152)
(2.153)
(2.154)
(2.155)
Gab = Rab − 1
2 gabR G ik ;k = 0 (2.156)
Tab = (ɛ + p)uaub − pgab ɛ = ρc 2
(2.157)
Die hier auftretenden Definitionen und Symbole haben folgende Bedeutung:
Rab Ricci Tensor; Gab Riemann oder Einstein Tensor; Tab Energie-Impulstensor einer idealen Flüssigkeit;
ɛ die gesamte Energiedichte, (umgerechnet ρ die gesamte Massendichte);
p (jetzt klein geschrieben) der Druck; die Größe w = ɛ + p ist die Enthalpie pro Volumeneinheit
ua die 4-er Geschwindigkeit (uaubgab = 1) der Materie.
Im Ruhsystem der Materie ist ua = g −1/2
00 δa 0 und die gemischten Komponenten von Tab haben die Komponenten T b a =
diag(ɛ, −p, −p, −p).
Die Bewegungsgleichungen müssen nicht wie in der SRT getrennt postuliert werden, sondern folgen aus den Feldgleichungen:
aufgrund der Bianchi Identität
G k i ;k = 1
√ −g ( √ −gG k i ),k − 1
2 gkl,iG kl = 0 (2.158)
folgen aus den Feldgleichungen die Bewegungsgleichungen
T ik ;k = 0 (2.159)
kovariant geschrieben. Sie sind unabhängig von der Gravitationskonstante, was ein Ausdruck des Äquivalenzprinzips ist.