Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

110 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die für k = 0 auftretende Dichte
ρc = 3H2
c 2 κ
(1.227)
stellt eine kritische Dichte dar: ein Kosmos mit höherer Dichte rekollabiert wieder (in unserer jetzigen
Näherung). In Zahlen
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
Wir definieren damit den dimensionslosen Dichteparameter Ω = Ω(t)
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
(1.228)
(1.229)
Damit ist demnach ein kosmologisches Modell eindeutig durch die dimensionslosen Parameter h und
Ω zum heutigen Zeitpunkt festgelegt. Wir wollen im folgenden versuchen, die Parameter h(to) und
Ω(to) zu bestimmen, wir werden dabei den Index weglassen, falls keine Missverständnisse möglich
sind. Dazu definieren wir zunächst nützliche Einheiten für Masse und Leuchtkraft (von Galaxien und
Galaxienhaufen).
• ANMERKUNG (DIE ZUSTANDSGLEICHUNG DES KOSMOS)
Die Bestimmung der Zustandsgleichung aller Komponenten eines Universums extrem hoher spezifischer Entropie, nγ/nb ≈
10 8 . . . 10 10 ist besonders einfach. Jedenfalls gilt dies für die sichtbare Materie. Die Bestimmung gelingt weitgehend mit
den Hauptsätzen der Thermodynamik. Die genauere Behandlung folgt später. Hier geben wir die einfachsten Anteile.
Sowohl die Sterne (oder die Galaxien) als ganzes als auch das Plasma aus Protonen und Elektronen (plus kleiner Beimengungen)
kann als eine ideale Flüssigkeit approximiert werden. Insbesondere ist heute P = 0 vollkommen ausreichend.
Für Zustandsgleichung und Entropiedichte s der Photonen gilt
p = 1
3
ɛ ; s =
3 4
ɛ
T
Dabei ist ɛ die Energiedichte und p der Druck.
Die Zustandsgleichung des Vakuums ist p = −ɛ = const.
Wir betrachten die allgemeine Zustandsgleichung der Form p = γɛ. Dafür wird Glchg. (1.210)
(ɛa 3 ) ′ = −γɛ(a 3 ) ′ mit ɛ = ɛo
Für alle drei Grenzfälle
� �
ao
3(1+γ)
a
1. p = 0, d. h. γ = 0, (Näherung für heute, Staubuniversum)
� �
ao
3
ɛ = ɛo
a
2. P = ɛ/3, d. h. γ = 1/3, (frühes Universum, strahlungsdominiert)
� �
ao
4
ɛ = ɛo
a
3. P = −ɛ, d. h. γ = −1, (Vakuum, dominiert die Zukunft)
ɛ = ɛo
können die Einsteinschen Gleichungen geschlossen gelöst werden.
(1.230)
(1.231)