Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 253
Verteilungsfunktion und Spektrum E(p) bestimmen vollständig die thermodynamischen Potentiale.
Die (exakte) Energie - Impuls Relation für freie Teilchen der Ruhmasse m lautet:
�
E = c p2 + m2c2 (4.202)
Der Energienullpunkt ist dann eindeutig festgelegt, die Ruhmasse m enthält die Bindungsenergie (des
Atoms oder Moleküls). Gewöhnlich spaltet man in der nichtrelativistischen Physik die Ruhmassen -
Energie mc 2 ab und erhält in niedrigster Ordnung:
E − mc 2 ≈ 1
2m p2
(4.203)
Der Energienullpunkt muß dann (willkürlich) festgelegt werden.
Für verschiedene Teilchen der Sorte i gilt dann folgender Zusammenhang zwischen Teilchenzahldichte
ni = Ni/V , Ruhmasse mi, Energie Ei, statistischem Gewicht gi, und chemischem Potential µi:
ni = gi
2π 2
� �3 �∞
kT z
¯hc
0
2dz e−β(Ei−µi) mit z =
± 1 pc
kT
Die Dispersionsrelation für Teilchen (der Sorte i) lautet
�
Ei = c p2 i + m2 i c2 Entsprechend gilt für die Energiedichte inklusive Ruhmasse
ɛi = ρic 2 = gi
2π 2
� �3 kT
�∞
Ez
¯hc
0
2dz e−β(Ei−µi) ± 1
Für eine Reaktion zwischen Partnern im thermodynamischen Gleichgewicht
i + j ←→ k + l gilt µi + µj = µk + µl (4.204)
oder allgemeiner, indiziert mit i für initial und mit f für final, die Saha Gleichung
�
i=ini
µi = �
f=fin
µf
(4.205)
Anstelle der Variablen z = pc
E
ist es günstiger zur Berechnung der Integrale die Variable w = kT kT zu
benutzen.
n = g
2π2 � �3 �∞
√
kT w2 − m2 ¯hc e
m
−β(w−µ) ɛ =
wdw
± 1
(4.206)
g
2π2 � �3 �∞
√
kT w2 − m2 ¯hc e
m
−β(w−µ) ± 1 w2 P =
dw (4.207)
g
6π2 � � �√ �
3 �∞
3
kT w2 − m2 ¯hc e
m
−β(w−µ) s =
dw
± 1
−αn + βµ ±
(4.208)
g
2π2 � �3 �∞
kT
log(1 ± e
¯hc
−β(w−µ) ) √ w2 − m2 wdw (4.209)
m
Eine nützliche Relation zwischen diesen Größen ist die Gibbs Duhem Relation, die benutzt werden
kann, um die Entropiedichte s zu berechnen, falls die anderen Größen bekannt sind:
ɛ + P = T s + µn (4.210)