Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

102 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Für ein freies Teilchen ist
u = uo ; x = uoτ
die Bahn. Mit drei geeignet gewählten Bahnen kann ein (inertiales) Minkowski System realisiert werden.
Der 4-Impuls ist
p i = mcu i in Komponenten: (E/c, �p) (1.161)
wobei m = me die Ruhmasse ist und
E = meγc 2
und �p = meγ�v
die nichtrelativistischen Komponenten sind.
Die Lagrange-Funktion bzw. Dichte für die Kopplung zwischen geladenem Teilchen und el. mag. Feld kann nicht durch
Invarianzforderungen bestimmt werden, sie beruht auf experimenteller Erfahrung.
Der folgende Ansatz berücksichtigt die Beobachtung, daß es el. Ladungen gibt, aber keine mag. Monopole:
S = − e
c
�
Ai ˙x i dτ = − 1
c
� �
Aij i d 3 xdt
mit der 4-Stromdichte ji für eine Punkt - Ladung. Für die Maxwellschen Gleichungen ist demnach die Gesamt - Wirkung
S gegeben durch
S = −mc 2
�
dτ − e
�
Aidx
c
i − 1
�
(FikF
16π
ik )d 3 xdt (1.162)
bzw. wenn wir die Wechselwirkung als Dichte schreiben
S = −mc 2
�
dτ − 1
�
(Aij
c
i )d 3 xdt − 1
�
16π
Die Lagrange-Dichte der elektromagnetischen Feldes ist
Λem = − 1 ik
FikF
16π
(FikF ik )d 3 xdt (1.163)
(1.164)
der einzige Lorentz Skalar, der zu linearen Gleichungen führt.
Die Bewegung der Elektronen ergibt sich aus der Variation der Bahn x(τ), mit u(τ) = ˙x(τ) und mit δA i (x) = A i k δxk
nach partieller Integration zu
� �
δS = δxi mcú i − e
c F ik �
uk
und liefert die kovariante Form der Lorentzkraft und die Bewegungsgleichung.
Die Allgemeine Relativitätstheorie
(1.165)
Die logische Erweiterung der SRT ist die Riemannsche Differential-Geometrie. Die Metrik wird hier
zum Feld und die Feldkomponenten gik = gik(x) sind jetzt ortsabhängig
ds 2 = gikdx i dx k
(1.166)
Das Feld kann (in einem gekrümmten Raum) nicht mehr global (d.h. für alle x) auf Diagonalform mit
konstanten Koeffizienten gebracht werden, wohl aber noch in einem Punkt (punktal).
Die Einsteinschen Feldgleichungen folgen, wie jede gute Theorie, aus einem Wirkungsprinzip
δS = 0 ; S = 1
�
Λ
c
√ −gdΩ ; dΩ = d 4 x = cdtdV (1.167)
wobei die Wirkung S die Summe aus den verschiedenen Feldanteilen ist. Alle Felder tragen (in linearer
Superposition) bei
�
S = (Λg + Λm + Λv) √ −g dΩ
(1.168)
c
Wir geben hier vorerst nur drei Felder explizit an: