Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 141
wobei E und J durch die physikalischen Parameter Anfangsgeschwindigkeit vi und Stossparameter ρ
ersetzt wurden. Der Ablenkwinkel χ ergibt sich zu χ = π − 2∆φ und mit Glchg. (2.60) kann man das
umrechnen in
oder
π − χ
ctg∆φ = h = ctg
2
tan χ
2
= h = α
mv 2 i ρ
Daraus folgt schließlich die Rutherfordsche Formel
dσ = 2πρdρ =
� α
2mv 2 i
� 2
do
4 χ
sin 2
(2.62)
(2.63)
wobei do das Raumwinkelelement ist.
Der Wirkungsquerschnitt ist nicht vom Vorzeichen abhängig und stimmt auch quantenmechanisch,
falls die Teilchen verschieden sind. Für Coulombstreuung ersetzen wir noch α = e 2 und schreiben mit
dem klass. Elektronenradius re = e 2 /mc 2 und der Fläche σe = r 2 e
dσ = σe
� �
c 4 do
v sin4 (χ/2)
(2.64)
Im Schwerpunktsystem wird die Energie der Teilchen nicht geändert (elastischer Stoss), sondern nur
die Richtung des Impulses.
Wir betrachten jetzt die Energie, die das einlaufende Teilchen (Index 1) an das Target Teilchen (Index
2) überträgt und zwar für ein ursprünglich ruhendes Teilchen 2 (Laborsystem). Es gilt, falls v die
Geschwindigkeit von 1 ist
v2 = ∆v = 2(m/m2)v sin(χ/2) (2.65)
Zusammen mit Glchg. (2.62) hat man somit eine Parameter Darstellung Stossparameter ρ und Geschwindigkeitsübertrag
∆v. Für kleine Ablenkwinkel ergibt sich
∆v ≈ 2Gm1
ρv
Mit der reduzierten Masse m und der Gesamtmasse M geben wir nun nützliche Relationen für Impulsund
Energieübertrag, die wir später benötigen.
∆v
v
∆E
E
= 2 m1
m1 + m2
�
m
= 4
m2
sin(χ/2) (2.66)
� 2
sin 2 (χ/2) (2.67)
Von der Anfangsenergie (m1/2)v 2 wird also maximal der Bruchteil Q
übertragen.
Q = 4m1m2 m
= 4
(m1 + m2) 2 M
≤ 1 (2.68)
• ANMERKUNG (MAXIMALER ENERGIEÜBERTRAG)
Das Maximum wird beim zentralen Stoß erreicht, wo das Teilchen reflektiert wird. Q = 1 gilt für m1 = m2. In diesem
Fall kann die gesamte Energie von Teilchen 1 auf Teilchen 2 übertragen werden.