Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

108 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ANMERKUNG (ZEITVARIABLE)
Es ist üblich in der ART Dimensionen zu benutzen, wo G = c = 1 ist. Aus didaktischen Gründen wollen wir die
Abhängigkeit von den Fundamentalkonstanten (zur bequemeren Nachprüfbarkeit) stets vollständig angeben. Wir definieren
stattdessen ξ = ct für die Zeitvariable, sodaß ′ die Ableitung nach ξ = ct bedeutet. Damit schreibt sich obiger Energiesatz
der ART in pseudo Einsteinscher Form
(a ′ ) 2 + k = 2GM
c 2 a = κρa2 = ˆκɛ 2
Hier ist ɛ = ρc 2 die Energiedichte. Sie enthält in der ART jegliche Form an Energie.
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik (für die Energie und Materie im Universum) lautet:
T k
i ;k = 0 ; (ɛa 3 ) ′ = −3pa 2 a ′
oder in bekannter Form
(1.208)
(1.209)
˙E = (ɛa 3 )˙ = −p(a 3 )˙ = −p ˙ V (1.210)
In der ART folgt er notwendig aus den Einsteinschen Feldgleichungen.
• ZUSATZ (DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN)
Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten
Gab = ˆκTab
(1.211)
Im isotropen Kosmos ist der gesamte Energie-Impulstensor (Materie plus Photonen) im mitbewegten System diagonal mit
Komponenten
T i k = diag(ɛ, − p, − p, − p) (1.212)
Damit lauten die (einzigen nichttrivialen) Einsteinschen Gleichungen
G 0 0 = 3
G 1 1 = 2 a′′
a +
� a ′
a
� ′ a
a
� 2
� 2
�
1
+ 3k
a
�
1
+ k
a
� 2
� 2
= ˆκT 0 0 = ˆκɛ (1.213)
= ˆκT 1 1 = −ˆκp (1.214)
Einfache Umformungen liefern die folgenden nützlichen, expliziten Relationen für den Skalenfaktor a:
(a ′ ) 2 = −k + ˆκ
3 ɛa2
(1.215)
a ′′ = − ˆκ
(ɛ + 3p)a (1.216)
6
(a 2 ) ′′ = −2k + ˆκ
(ɛ − 3p)a2
3
(1.217)
Die erste Gleichung enthält den Druck überhaupt nicht. Sie ist formal identisch mit der Newtonschen. Der Druck steckt
implizit über den 1. Hauptsatz der Thermodynamik in der Bewegung von a(t). Geeignet uminterpretiert geht sie in die
Newtonsche Bewegungsgleichung über und zwar kann sie dort als Energiesatz des Kosmos bezeichnet werden.
Die zweite Gleichung kann als Kraftgleichung (Beschleunigungsgleichung des Kosmos) interpretiert werden: sie enthält
die Kombination ɛ + 3p, also auch den Druck, als aktive gravitierende Masse (fehlt bei Newton, stammt aus der SRT) und
ist unabhängig von der 3er-Geometrie k.
Bei bekannter Zustandsgleichung können die Gleichungen leicht gelöst werden.
Oft wird anstelle von a(t) die Bezeichnung R(t) für den Radius der Raumkrümmung benutzt. Der Hubble Expansionsparameter
H und die kritische Dichte des Universums wird damit wie folgt definiert:
H = ˙ R
R
; ρc = 3
8πG H2
; Ω = ρ
ρc
= 8πG
3 ρH−2
(1.218)