Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 375
mit
J2 = 3Ω2
8πGρ
1
= m (7.111)
2
Für die Erde ist der von Satelliten gemessene Wert J2 = 1.08270 · 10 −3 . Newtons Ergebnis (1687)
erhalten wir als niedrigste Näherung 2f = 5J2:
f = (Re − Rp)
Re
= 1
2 e2 = 15Ω2
16πGρ = 5Ω2R3 4GM
Die kompressible Flüssigkeit (Polytrope)
Lösbar ist noch die Polytrope zum Index 2 in linearer Näherung:
P = Kρ 2
(7.112)
da sie eine analytische Lösung des ungestörten Körpers besitzt. Es sei R der Radius, dann gilt mit den
folgenden Definitionen
sin x
ρ = ρc
x
mit x := π r
R
für Masse M, Trägheitsmoment I und Gesamt Energie Etot
mit
M = 4π
3 ρc
�
sin x
x r2dr = 4
I =
3
ρcR
3π
(7.113)
8π
3 ρc
�
sin x
x r4dr = f ∗ R 2 M (7.114)
Etot = Egrav + Eint = 1 GM
2
2
R
(7.115)
f ∗ = 2(π2 − 6)
π 4
t := Erot
Etot
≈ 1
10
= f ∗ Ω2 R 3
GM
(7.116)
(7.117)
Vergleichen wir dies Ergebnis mit der inkompressiblen Materie, wo der Faktor 1/3 ist, so sehen wir,
da 1/3 ≫ f ∗ , daß ein kompressibler Körper stärker deformiert wird bei gleicher Rotation als ein
inkompressibler. Ein solcher Körper fliegt auch früher auseinander.
Die allgemeine Polytrope muß numerisch behandelt werden.
Die Eulerschen Winkel liefern den Übergang vom Inertialsystem mit Achsen �ex, �ey, �ez zum mitrotierenden
Bezugsystem mit Achsen �e1, �e2, �e3.
�ex �ey �ez
�e1 cos ψ cos φ − sin ψ sin φ cos Θ cos ψ sin φ + sin ψ cos φ cos Θ sin ψ sin Θ
�e2 − sin ψ cos φ − cos ψ sin φ cos Θ − sin ψ sin φ + cos ψ cos φ cos Θ cos ψ sin Θ
�e3 sin φ sin Θ − cos φ sin Θ cos Θ
Beispiel: für den Übergang vom Inertial- zum mitrotierenden Bezugsystem gilt also:
�e3 = sin φ sin Θ�ex − cos φ sin Θ�ey + cos Θ�ez
(7.118)