Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

330 KAPITEL 6. PLANETEN
6.3.3 Die Zustandsphasen
Bei der Erde sind in der Kruste und im Kern Korrelationsenergie eines Eisengitters und Gravitationsenergie
vergleichbar. Sie liegt damit gerade an der Grenze zweier Phasen: fest und flüssig. So kann
man die maximale Höhe von Bergen, h, und damit die Ebenheit der Erdoberfläche, abschätzen, nach
der Formel:
kTs = mF eg h mit kTs � α 3 mec 2
wobei für Ts etwa die Schmelztemperatur von Eisen (oder Stein) einzusetzen wäre. Hier ist mgh die
pot. grav. Energie am Fusse des Berges, von der Spitze aus gemessen, und g = 981 cm s −2 die Erdbeschleunigung.
Für den Schmelzdruck erhält man mit
Ps � nkTs
aus unserer Abschätzung für T etwa Ps ≈ 10 9 dyn cm −2 und aus Ps = gρh die maximale Höhe damit
zu h ≈ 10 km. Sieht man von Inhomogenitäten in der Dichte ab, dann ist das in etwa auch die Dicke
der Erdkruste.
Unsere Formel
h = Ps
gρ = α3mec2 mF eg
g = GM
R 2
können wir nun an anderen Planeten testen: für den Mars erhält man h ≈ 26 km (der Olympus Mons
hat 24 km) und für den Mond mit g = 0.165g⊕ sogar h ≈ 60 km, was in etwa für die Dicke der
Mondkruste zutrifft (Berge vulkanischen Ursprungs gibt es dort nicht). Auf der Venus ist Maxwell
Montes mit 12 km der höchste Berg (in einem Gebirge der Ausmasse 700 km mal 400 km). Planeten
sind demnach mit h/R ≈ 10 −3 sehr rund, was für die kleineren Monde, Asteroiden und Planetoiden
nicht mehr gilt. Entsprechend unregelmässig sind letztere geformt. Die beiden Mars Monde Phobos
(gr. Furcht) und Deimos (gr. Panik) haben Abmessungen 28 mal 23 mal 20 km und 16 mal 12 mal 10
km.
Nehmen wir als einfachsten Fall an, daß der Planet aus reinem Wasserstoff mit der Masse m := mH besteht.
Die Coulomb-Abstossung des Hüllen-Elektrons mit seinem nächsten Nachbarn liefert die Kraft,
um der Gravitation die Waage zu halten. Der Quotient beider Kräfte, bezogen auf die schweren Protonen,
an denen die leichten Elektronen hängen, ist eine der Diracschen grossen Zahlen
D1 = e2
≈ 1036
Gm2 (6.30)
Da die Gravitation unendliche Reichweite hat, die Coulomb - Kraft jedoch abgeschirmt wird, vergrößert
sich das Verhältnis von Gravitationskraft zu Coulomb - Kraft bei N Teilchen um das N-fache.
Eine kritische Grenzmasse, Mc, erhält man für Planeten, indem man beide Kräfte, oder – einfacher –
ihre Bindungsenergien, gleich setzt.
Das ergibt, wenn man den mittleren Elektronenabstand mit l ≈ RN −1/3 abschätzt,
Ne 2
l
= N 4/3 e 2
R
= Gm2 N 2
R
Der Radius R hebt sich heraus und man erhält für einen Planeten eine kritische Teilchenzahl, Nc, und
eine dazu gehörende kritische Masse Mc:
Nc = D 3/2
1
≈ 10 54
bzw. Mc = mHN ≈ 10 −3 M⊙ (6.31)
Bis zu Mc dominiert die Coulomb - Kraft den Planeten, für größere Massen sind beide gleich wichtig.