Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

388 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Es sei d der mittlere Abstand der Teilchen (Protonen bzw. Elektronen). Dann gilt näherungsweise, pro
Teilchen
oder
ɛth + ɛent ≈ ugrav
kT + ¯h2
2/3 ¯hc
≈ αGN
med2 d
Das Kriterium ist, daß bei Verkleinerung von d die Zündtemperatur
Tcrit ≈ αmec 2
erreicht wird. Die Funktion
2/3 ¯hc ¯h2
kT = f(d) = αGN −
d med2 hat ihr Maximum bei f ′ (d) = 0, was
Tmax = 1
2 (αGN 2/3 ) 2 mec 2
(8.54)
(8.55)
und mit Tmax > Tcrit schließlich
Sonst steigt die Temperatur (praktisch) instantan (runaway) bis zur Explosion, die Gravitationsenergie
geht dann in Pulsationsenergie; der Stern ähnelt einem Motor mit Fehlzündungen (Stottern).
Wir bestimmen die kritische Masse für Entartung als Interpolation (geometrisches Mittel) zwischen
Planet und Sonne, die im Zentrum fast entartet ist:
Nkrit ≈ α 3/4 α −3/2
G α 3/4 ≈ 0.04N⊙ (8.56)
Wie wir sehen werden, ist die kritische Temperatur für Wasserstoffbrennen etwa 10 6 K, in etwa ebenfalls
das geometrisches Mittel zwischen Fusionstemperatur der Sonne (1 keV) und Ionisationsenergie
von Wasserstoff (13 eV).
Die Leuchtkraft solcher Sterne, der sog. braunen Zwerge, ist winzig, wie aus unserer einfachen Formel
(8.30) für die Leuchtkraft folgt:
L ≈ 10 −4 L⊙
8.1.7 Die obere Grenzmasse und Leuchtkraft für Sterne
• ANMERKUNG (EINE EINFACHE ABSCHÄTZUNG)
Wir definieren
¯β = Eγ
Eth
= 2π2
45
� �3 kT V
¯hc N
und betrachten die Grenzfälle
¯β ≪ 1, d. h. E = EGas = (-1/2)U oder NkT = (1/3)Gm 2 pN 2
bzw.
¯β ≫ 1, d. h. E = Eph = -U oder aT 4 V = Gm 2 pN 2
und ersetzen NkT bzw. akT 4 und erhalten
¯β = (N/16N⊙) 2 bzw. ¯ β = (N/N⊙) 1/2 .
(8.57)