Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

306 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
oder durch die die Lane-Emden Funktion, Glchg. (5.165) ausgedrückt
P ∝ Θ n+1
; ρ ∝ Θ n
Numerische Integration liefert für n = 3:
; µ ∝ T ∝ Θ (5.189)
ξ1 = 6.8968; ˆm = 2.0182; − 3
Θ ′ (ξ1) = 54.18; ˆι = 10.851 (5.190)
Es ist ferner (Glchg. (5.102), Index p unterdrückt):
� �3/2
K
M = 4π ˆm
πG
ξ1
(5.191)
und wir haben das bemerkenswerte Ergebnis, daß im Standardmodell M nicht von der zentralen Dichte,
ρc, oder vom Radius R abhängt. Damit ist es leicht, ein Sternmodell zu konstruieren. Mit (Glchg.
(5.102), Index p unterdrückt)
K =
�
k
�4/3 �
3(1 − β)
˜µmHβ a
� 1/3
erhält man schließlich für die Masse M
�
18
M =
πaG3 �1/2
� �2 �
k 1 − β
ˆm
˜µmH β4 und für die Leuchtkraft L
� 1/2
(5.192)
(5.193)
L = (1 − β) 4πGc
M (5.194)
κ
eine Parameterdarstellung der Masse–Leuchtkraft Beziehung. Damit wird die Bedeutung der Größe
1 − β, Glchg (5.100)
1 − β = Pγ
P
∝ T 4
nT
∝ T 3
n
∝ s
n
(5.195)
klar: die Leuchtkraft einer Polytropen ist proportional zu spezifischen Entropie. Bemerkenswert ist
hier, daß die Leuchtkraft unabhängig von der Energieerzeugungs-Rate, ´ɛ, ist. Diese muß sich also von
selbst einstellen, ebenso der Radius.
Eddingtons obere Schranke für die Leuchtkraft eines Sterns
Der in Glchg. (5.193) auftretende Zahlenfaktor, kann mit Glchg. (5.194) in folgender Form umgeschrieben
werden:
�
M 720
= ˆm
˜µmH π3 �1/2
α −3/2
G ≈ 20N⊙ (5.196)
Er ist unabhängig von der Boltzmann Konstanten und für ihn gilt numerisch
� �2 (1 − β)
M
= 3.02 · 10−3
(˜µβ) 4
M⊙
d. h. für die Sonne ist 1 − β = 3 · 10 −3 , wie bereits erwähnt.
Ähnlich wie bei den weißen Zwergen tritt auch hier die gravische Feinstrukturkonstante
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
(5.197)
(5.198)