Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 171
und die eines Tensors
A ik ;l = ∂Aik
∂x l + Γk mlA im
Die Christoffelsymbole sind symmetrisch in den unteren Indizes
Γ i jk = Γ i kj
und werden auch affiner Zusammenhang genannt. Vereinfachend werden wir auch die Komma Notation benutzen:
Γ i jk = 1
2 gil (glj,k + glk,j − gjk,l) (2.193)
Die Komponenten des Riemannschen Tensors sind explizit durch den folgenden Ausdruck gegeben:
R i kab = Γ i kb,a − Γ i ka,b + Γ i laΓ l lb − Γ i lbΓ l la
Mit u i bezeichnen wir die 4-er Geschwindigkeit der Materie,
u i = dxi
ds
(2.194)
u i u k gik = 1 (2.195)
Die kovariante Form der Beschleunigung ist der Term auf der linken Seite
D
Ds ui = u i + Γ i jku j u k = 0 (2.196)
Falls sie, wie hier angegeben, verschwindet, dann ist dies die Geodätengleichung für die Bahn x i (s) in einem Raum mit
dem metrischen Tensor gik.
• FORMELN (ROBERTSON-WALKER METRIK UND FRIEDMANN GLEICHUNGEN)
Die Robertson-Walker Metrik, ds 2 (k),
beschreibt die zeitliche Änderung Räume konstanter Krümmung. Die Bewegung ist eine homologe Expansion. Es ist von
der Form (R = a):
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (2.197)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (2.198)
mit der Masstabsfunktion σk = σk(χ) und k = 1, 0, −1.
σ1(χ) = sin χ (2.199)
σ0(χ) = χ (2.200)
σ−1(χ) = Sinhχ (2.201)
Die Einstein-Friedmann Gleichungen der ART lauten vollständig für die Robertson-Walker Metrik
� ′ a
3
a
2 a′′
a +
� ′ a
a
� 2
� 2
�
1
+ 3k
a
�
1
+ k
a
� 2
� 2
= ˆκɛ (2.202)
= −ˆκp (2.203)
dabei ist ɛ die Massen-Energiedichte, p der Druck und ˆκ die relativistische Kopplungskonstante, mit der Bedeutung, wie
sie in den Definitionen ’Parameter der ART’ aufgeführt sind.
• FORMELN (DIE EINSTEINSCHE FELDGLEICHUNGEN)
Die Feldgleichungen der ART (Einstein, 1915) lauten
Gab = ˆκTab
Der Operator Gab
Gab = Rab − 1
2 gabR
(2.204)