Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 103
1. das metrische Feld
Λg = − 1
R (1.169)
2ˆκ
2. das elektromagnetischen Feld
Λem = − 1 ik
FikF
16π
3. das ’Vakuum’, mit Λv = const
Sv = − 1
�
ˆκ
√ dΩ
Λv −g
c
(1.170)
(1.171)
mit dem Index g für Geometrie, em für elektromagnetisch und mit dem Index v für Vakuum.
Die Materie (mit Index m) wird meist phänomenologisch als Staub behandelt. Die Größen Λv (Einsteins
Kosmologische Konstante) und R (Ricci Skalar) haben die Dimension eines inversen Längenquadrats,
die metrischen Koeffizienten gab sind dimensionslos. Die dimensionelle Umrechnung auf die Energiedichte
Λem geschieht mit ˆκ
κ = 8πG
= 1.86 · 10−27
c2 cm g−1 ; ˆκ = κ
= 2 · 10−48
c2 cm 3 g −1 s −2 (1.172)
anstelle der Gravitationskonstanten G. Die Wirkung S ist ein Skalar, was garantiert, daß das Plancksche
Wirkungsquantum h der Quantisierung unabhängig vom Bewegungszustand ist.
Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten, mit der Gravitationskonstanten der ART (relativistische
Kopplungskonstante ˆκ)
Gab = ˆκTab
Der Energie-Impulstensor des Vakuums erscheint auf der rechten Seite als:
Tab = 1
ˆκ Λvgab
(1.173)
(1.174)
Bei Einstein (in seinem statischen Universum) war er auf der linken Seite als −R −2
E gab.
Im isotropen Kosmos gilt folgendes: im mitbewegten System ist der gesamte Energie-Impulstensor
(Materie plus Photonen) diagonal mit Komponenten
T i k = diag(ɛ, − p, − p, − p) (1.175)
Das (Robertson-Walker) Linienelement, ds 2 , ist von der Form:
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (1.176)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (1.177)
Damit lauten die (einzigen nichttrivialen) Einsteinschen Gleichungen
G 0 �
′ a
0 = 3
a
G 1 1 = 2 a′′
a +
�
′ a
a
� 2
� 2
� �2 1
+ 3k
a
� �2 1
+ k
a
= ˆκT 0 0 = ˆκɛ (1.178)
= ˆκT 1 1 = −ˆκp (1.179)
Sie wurden erstmals von Friedmann aufgestellt und gelöst (Urknall) und von Lemaître (Atome primitif)
auf den Kosmos angewandt.