Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 137
Von allen Bahnen zu gegebenem p, d. h. zu gegebenem J und α (geometrische Gesamtmasse:
α = GmM = Gm1m2) hat die Kreisbahn die größte Bindungsenergie.
Falls ein Binärsystem nur seine Energie, nicht aber seinen Drehimpuls, dissipieren kann (z. B. weil der
Hebelarm wie beim Erde - Mond System fehlt), wird das System immer runder (und weiter).
Die kleine Halbachse b und die grosse Halbachse a der Ellipse kann man durch Energie E und Drehimpuls
J wie folgt ausdrücken, s. Glchg. (2.29):
a = p α
=
1 − e2 2|E|
; b =
p
√ 1 − e 2 =
Eliminiert man E und benutzt J = 2mπab,
PJ = 2mπab = 2mπp2
(1 − e 2 ) 3/2
so folgt das dritte Keplersche Gesetz
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 J
�
2m|E|
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Die Extrema, f ′ (rmin) = f ′ (rmax) = 0, von r, vom Brennpunkt aus gemessen, heißen Librationspunkte.
Für sie gilt
und
rmin = p
1 + e
rmax = p
1 − e
= a(1 − e) Perihelabstand (2.34)
= a(1 + e) Aphelabstand (2.35)
Aus ihnen kann die Exzentrizität der Bahn bestimmt werden. Für die Bindungsenergie ergibt sich dann
E = − α(1 − e2 )
2p
= − α
2a
(2.36)
und es gilt 2T + U = 0 (Virialsatz).
Damit haben wir eine vollständige Beschreibung der Bewegung mithilfe der geometrischen Größen
p und e erhalten. Für die direkte Beobachtung (Dopplerverschiebung
an optischen Binärsystemen oder Pulsankunftszeit an Radiopulsaren
mit Begleitern) ist diese Beschreibung der Bewegung
aber nicht geeignet. Gesucht werden möglichst einfache Ausdrücke
für die Orts- und Geschwindigkeitsvariablen x und y, bzw.
˙x und ˙y, als Funktion der Zeit des Beobachters t.
Dazu betrachtet man nach Bessel die exzentrische Anomalie Φ.
Bisher war φ die wahre Anomalie (Winkel bezogen auf den
Brennpunkt der Ellipse, ab Perihel im Gegenuhrzeigersinn gemessen),
jetzt wird stattdessen Φ, die exzentrische Anomalie
(Winkel bezogen auf Mittelpunkt zwischen beiden Brennpunk-
Abb. 2.2: Anomalie
ten eines Kreises mit Radius a) betrachtet.
In der Abbildung ist zu den Winkeln jeweils π hinzuzuzählen, zur besseren Lesbarkeit ist hier vom
Aphel nicht vom Perihel aus gezählt.