Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

328 KAPITEL 6. PLANETEN
in sphärischen Koordinaten für Kugelsymmetrie:
∆φ = 1
r2 d d
r2 φ = 4πGρ (6.17)
dr dr
Die Differentialgleichung ist singulär bei r = 0. Die singuläre Lösung
φ = φs = − Gm0
r
im Innern des Sterns beschreibt eine Punktmasse im Zentrum und wird aus physikalischen Gründen
ausgeschlossen. Wenn wir die Masse innerhalb des Radius r mit m = m(r) bezeichnen, dann gilt für
die Ableitung vom Potential (Beschleunigung g):
g = − dφ
dr
Gm 4π
= =
r2 3
Die reguläre Lösung im Innern lautet
φ = φ0 + 2πGρ
r
3
2 = φ0 + Gm
2r
Gρr (6.18)
(6.19)
Die Aussenlösung, d. h. wo ρ(r) = 0 ist, wird so geeicht, daß φ(∞) = 0 gilt. Die Integrationskonstante
der Innenlösung ist dann eindeutig bestimmt: φ0 wird so gewählt, daß die Außenlösung
φ = − GM
r
; ∆φ = 0 (6.20)
stetig am Rand M = m(R) an die Lösung im Innern anschließt. Das liefert
φ0 = − 3GM
2R
; R : Radius M : Masse (6.21)
Der Druck muß als Kraft pro Fläche ebenfalls stetig sein,
P (R) = 0 ; R : Radius (6.22)
Den Druck im Innern erhalten wir damit aus
zu
dP
dr = P ′ = −Gρ Gm
r2 P = 1
2 ρ
�
GM
R
�
Gm
−
r
Für den Druck im Zentrum gilt also
Pc = ρGM
2R
(6.23)
(6.24)
= −1 ρφ(R) (6.25)
2
für die inkompressible, homogene Kugel.
Die singuläre Lösung (Index s) hat zusätzlich den Term
Ps = P + Gρm0
r
der Druck divergiert im Zentrum.
Wir betrachten nun eine Sequenz von inkompressiblen, homogenen Kugeln mit der Masse M als Parameter.
Der Radius R solcher Kugeln wächst unbeschränkt wie M 1/3 .