Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

314 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• ANMERKUNG (JEANS SCHWINDEL)
In der Tat haben wir zu stark vereinfacht. Dies ist der sog. Jeans Schwindel. Die Herleitung des Stabilitätskriteriums ist
mathematisch nicht korrekt. Damit man alle Größen Fourier transformiert darf, müßen diese konstant sein: das ist aber für
das Gravitationspotential bei konstanter Dichte ρ nicht möglich.
In einer homogenen, ruhenden Gaskugel im hydrodynamischen Gleichgewicht mit Radius R gilt
0 = −gradP − ρgradV (5.235)
Die Berücksichtigung der Gravitation verlangt
∆V = 4πGρ (5.236)
Die ungestörte Lösung lautet innen, d. h. für r < R:
V = 2π
3 Gρ(r2 − 3R 2 ) (5.237)
P = 2π
3 Gρ2 (R 2 − r 2 ) (5.238)
und außen:
V = − 4π 1
GρR3 = −GM
(5.239)
3 r r
Die ungestörte Lösung bekommt jetzt den Index o und wir sehen: nur die Dichte kann konstant sein, Druck und Gravitationspotential
können es nicht. Beide haben vielmehr einen nicht verschwindenden Gradienten. Es gibt einen Schwerpunkt
und damit ein Gravitationszentrum.
Wir können uns nun wieder als Anfangsbedingung etwa eine Wolke zum Umkehrzeitpunkt einer Expansion vorstellen,
diesmal allerdings mit Druckgradient und fragen, wie die anschließende Kontraktion verläuft, d. h. wir fragen , ob die so
gebildete Wolke stabil ist oder nicht. Die Auslenkung sei δ�x, dann ist �v = .
�x. Wir werden als nächstes zeigen, daß nun
tatsächlich exponentielles Anwachsen möglich ist, vorausgesetzt es gibt einen Druckgradienten.
Qualitativ ist die Aussage des Jeans - Kriteriums jedoch in jedem Fall korrekt.
• BEISPIEL (JEANSLÄNGE UND JEANSMASSE)
Die Anzahl der Freiheitsgrade pro Teilchen sei f, dann ist die innere Wärmeenergie Q = Ekin
Q = CvT = fNɛ = fMkT
2Amp
; ɛ = 1
kT (5.240)
2
(näherungsweise Gleichverteilung pro Freiheitsgrad, Energieeinheit ɛ) Bereits aus dem Virialsatz Egrav + 2Ekin = 0, oder
−GM 2
+ fNkT = 0
R
folgt (mit M = ˜µmHN und f = 5) für die Jeanslänge (d. h. für den Jeans Radius RJ)
(5.241)
� �1/2 15kT
RJ =
4πG˜µmHρ
(5.242)
Die hier (implizit) auftretende Größe kT/m ist bestimmbar aus dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit (beim idealen
Gas).
c 2 s = γ p kT
= γ
ρ m
Dies kann man auch so interpretieren: geht man von konstanter Masse und Temperatur aus, dann gibt stets es einen kritischen
Radius, den Jeans Radius RJ, den wir jetzt wie folgt schreiben,
� �1/2 2 πcs RJ =
(5.243)
4Gρ
bei dessen Unterschreitung das Gas instabil wird. Die dazu gehörende kritische Masse (die Jeans Masse MJ) ist gegeben
durch
� �1/2 � �3/2 1 kT
MJ ≈
(5.244)
ρ G
In Zahlen
MJ = 12 � T 3 /nM⊙
Zum Vergleich einige Beispiele für ein ideales Gas