Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 249
4.2.5 Quellen: Thermodynamik
Die Wärmestrahlung
Das Plancksche Gesetz liefert die Intensität B = B(T ) und die Spektralverteilung Bν(T ) der Wärmestrahlung.
Für die spezifische Intensität Bν(T ) schreiben wir allgemein (falls es sich nicht um Plancksche Schwarzkörper
- Strahlung handelt) Iν. Diese und die Energiedichte uν hängen wie folgt zusammen
Bν(T ) = Iν = c duν
dΩs
= c
4π uν
(4.176)
Der Faktor c macht aus der Energiedichte u den Poynting-Strom. Von der Energiestromdichte kommt
man zur spezifischen Intensität, indem man durch den Raumwinkel Ωs dividiert. Für isotrope Strahlung
ist Ωs = 4π.
Für die Planck Funktion gilt
Bν(T ) = 2hν3
c 2
1
e hν/kT − 1
(4.177)
Die Einheit für die spezifische Intensität ist erg cm −2 s −1 Hz −1 sterad −1 .
Diese Formel enthält (neben den Fundamentalkonstanten h und c) nur eine einzige physikalische
Größe: die Temperatur, ausgedrückt in Energieeinheiten kT . Der spezifische Erzeugungsmechanismus
der Strahlung kommt nicht vor, die Plancksche Verteilung hat universelle Gültigkeit.
Integrieren wir Glchg. (4.177) über die Frequenz ν, so erhalten wir, wenn wir Glchg. (4.176) benutzen,
das Stefan-Boltzmann Gesetz
u =
�∞
0
uνdν = aT 4
mit der Strahlungsenergiedichte-Konstante
oder
a = π2 k 4
15¯h 3 c 3 = 7.56 · 10−15 erg cm −3 K −4
u = g π2
30 kT
� �3 kT
¯hc
(4.178)
(4.179)
(4.180)
wobei wir das statistische Gewicht g = 2 explizit herausgezogen haben. Dazu gilt für Photonen für
Druck und Entropiedichte
P = 1
u + P
u ; s =
3 T
= 3
4
u
T
(4.181)
Für masselose Neutrinos gelten ähnliche Relationen.
Den Gesamtstrahlungsstrom aus der Quelle heraus erhalten wir durch Integration über den Raumwinkel
(über den dem Beobachter zugewandten Halbraum) zu
u = aT 4
; B = c
c
u ; Φ = u (4.182)
4π 4
Damit ergibt sich für die Rate der Schwarzkörper - Strahlung eines Sterns mit Radius R:
L = 4πR 2 σT 4
(4.183)