Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

286 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Für polytrope Sterne, die mit dem Eddingtonschen Standardmodell beschrieben werden können, gilt für die Masse M
M =
�
18
πaG3 �1/2 �
k
ˆm
˜µmH
und für die Leuchtkraft L
� 2 � 1 − β
β 4
� 1/2
(5.84)
L = (1 − β) 4πGc
M (5.85)
κ
Das ist eine Parameterdarstellung der Masse–Leuchtkraft Beziehung. Die Größe 1 − β, nach der hier parametrisiert wird,
ist proportional zur spezifischen Entropie
1 − β = Pγ
P
= aT 4
3nkT
= s
4nk
Die Leuchtkraft ist unabhängig von der Energieerzeugung. Für sie gibt es eine fundamentale obere Schranke:
LEdd = 4πGmHMc
σT h
5.3 Die Eulersche Gleichung
der Hydrodynamik
5.3.1 Die Grundgleichungen
(5.86)
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10
M⊙
38
� �
M
mH erg s
M⊙
−1 (5.87)
Die Grundgleichungen des Sternaufbaus sind die Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik. Sie lauten
bei Berücksichtigung der Gravitation, wobei V das Gravitationspotential und ρ die Massendichte
ist, allgemein für das hydrodynamische Gleichgewicht einer idealen Flüssigkeit:
∆V = 4πGρ (5.88)
ρ D�v
dt
= −∇P − ρ∇V (5.89)
∂ρ
∂t
= −div(ρ�v) (5.90)
Die drei hier aufgeführten Gleichungen sind in dieser Reihenfolge:
1. die Poisson Gleichung, d. h. die Potentialgleichung der Gravitation,
2. die Eulersche Gleichung der Hydrodynamik und
3. die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom.
Hydrostatisches Gleichgewicht liegt vor, falls die (expliziten) Zeitableitungen ∂/∂t verschwinden, im
statischen Gleichgewicht verschwindet auch die makroskopische Geschwindigkeit der Materie, �v = 0.
Die Zustandsgleichung
Damit diese Gleichungen einen Inhalt bekommen, muß der Zusammenhang zwischen Dichte und
Druck, d. h. die Zustandsgleichung P = P (ρ) bekannt sein. Entarteter Materie (Sterne wie weiße
Zwerge und Neutronensterne aber auch Planeten) kann man mit diesen beiden Gleichungen bereits
vollständig beschreiben.
Nicht so die Hauptreihensterne, wo die Zustandsgleichung für den Gesamtdruck als Summe
P = PG + Pγ
(5.91)