Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

300 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• BEISPIEL (EXTREMFALL: STERN AUS LICHT)
Als weiteres Beispiel von beträchtlichem Interesse betrachten wir lichtartige Materie, mit der Zustandsgleichung P = Kρc 2
mit K = const. Licht hat dabei K = 1/3. Die Lösung ist sogar für unendliche zentrale Dichte nicht endlich: man erhält ein
ganzes Universum unendlicher Masse. Mit dem Ansatz
P = Kρc 2 = A
r2 ; M(r) = 4πA
erhalten wir Newtonsch
r
Kc2 (5.149)
− 2 A A
= −G
r3 Kc2r 2
4πA
Kc2r Dies kann wie folgt geschrieben werden:
(5.150)
M(r) = K2 c 2
G
r (5.151)
In Vorbereitung auf die Allgemeine Relativitätstheorie, kann dies auch wie folgt geschrieben werden
4K 2 = 2GM(r)
c 2 r
≡ x
Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert dann mit der TOV-Gleichung folgende Modifikation.
4K 2 =
(1 + K)2
1 − K x
Für x erhält man einen kleineren Wert (aber immer noch keinen Stern aus Licht)
x ≡ 2GM(r)
c 2 r
= A
1 + A
; A =
� 2K
1 + K
� 2
Bereits diese Näherungen erlauben es, einige interessante Schlüsse über die Dynamik zu ziehen. Wir
betrachten für einen ersten, groben Überblick die folgenden Fälle:
1. Schwingung eines Testteilchens im Gravitationsfeld einer statischen Kugel (Reise zum Zentrum
der Erde).
2. Kollaps der gesamten Kugel (Staubwolke ohne Druck)
3. Schwingung (Pulsation) der gesamten Kugel (Erde mit Druck)
welche später noch genauer untersucht werden.
Schwingung eines Teilchens im Feld einer statischen Kugel
In diesem Fall gilt folgende Bewegungsgleichung für r(t):
¨r = − Gm(r)
r2 = −G4πρ r
3
mit der Lösung (Start an der Oberfläche r = R zum Zeitpunkt t = 0):
�
(5.152)
r(t) = R cos ωt ω =
4πGρ
3
(5.153)
Das ist eine harmonische Schwingung mit der Periode (einmal zur Antipode und zurück in T⊕ = 84.1
min oder 5045 s):
Π = 2π
ω =
�
3π
Gρ
(5.154)
Die Größe
�
ˆΠ
1
=
Gρ
(5.155)
ist eine für alle Schwingungs - Vorgänge charakteristische Zeit. Für die Sonne, mit einer mittleren
Dichte ¯ρ⊙ ≈ 1.41 g cm −3 , ist ˆ Π⊙ = 54 min. und für die Erde die Hälfte davon, ˆ Π⊕ = 27 min.