Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

190 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
3.3.2 Halbwertszeit radioaktiver Elemente
Langlebige Atomkerne
Radioaktive Kerne zerfallen (statistisch) nach dem Gesetz
N(t) = N0 e −(t/τ)
wobei N die Anzahl der Kerne ist. Die Halbwertszeit (auch mittlere Lebensdauer genannt) bzw. Zerfallszeit
τ
t1/2 = τ ln2 = 0.693τ (3.8)
der folgenden Isotope ist für die Kosmologie von besonderem Interesse.
Die Halbwertszeit radioaktiver Elemente wird in einfachster Näherung bestimmt von der Höhe der
Coulomb Potentialbarriere beim Tunneleffekt und von der
Stärke der Wechselwirkung.
In der nebenstehenden Tabelle ist die Halbwertszeit, t1/2 in
Gyr, für die in der Astrophysik wichtigsten Zerfallsprozesse
in der Form
Mutter-Element → Tochter-Element
angegeben. Beim β − − Zerfall wird im Atomkern ein Neutron
in ein Proton vermittels der schwachen Wechselwirkung
umgewandelt, der α− Zerfall hat den Faktor Z 2 = 4
in der Tunnelwahrscheinlichkeit.
(3.7)
Halbwertszeit (in Gyr) radioaktiver Elemente
A Mutter → A Tochter t 1/2
87 Rb β − 87 Sr 49.8
187 Re β − 187 Os 42.9
232 Th α 208 Pb 13.9
238 U α 206 Pb 4.5
40 K β − 40 Ar 1.3
235 U α 207 Pb 0.7
Drei interessante Beispiele für den α− Zerfall sind:
Tab. 3.1: Halbwertszeiten
212Po mit t1/2 = 3 · 10−6 s, Energie 8.78 MeV; 224Ra mit t1/2 = 3 d, Energie 5.69 MeV und 144Nd mit
t1/2 = 6 · 1012 yr, Energie 1.83 MeV.
Der Vollständigkeit halber geben wir auch ein Beispiel für den β + − Zerfall: 13N mit τ = 9.96 Minuten.
Für das Zeitintervall zwischen Produktion (Index i) und Beobachtung (Index f) gilt für das relative
Verhältnis [R] zweier radioaktiver Elemente mit Indizes 1 und 2
∆t = ln[R]i − ln[R]f
τ −1
1 − τ −1
2
Als Beispiel nehmen wir das Verhältnis der beiden Uranisotope 235 U und 238 U. Kernphysikalische
Rechnungenergeben, daß in einer Supernova die beiden Isotope von Uran im Verhältnis [ 235 U/ 238 U] �
1.7 erzeugt werden, während dafür auf der Erde der Wert 0.00723 gefunden wird. Das liefert eine
Zerfallszeit von ∆t � 6.6 Gyr. Die schweren Elemente im Sonnensystem stammen also aus einer Zeit,
die mindestens 7 Milliarden Jahre zurückliegt.
Nimmt man an, daß in einer Supernova stets das gleiche Verhältnis von Radioisotopen erzeugt wird,
dann kann man aus der Streuung der Häufigkeiten der beobachteten Endprodukte auf ein Erzeugungsalter
(der Galaxie) schließen. Addiert man noch das Zerfallsalter hinzu, so erhält man als Ergebnis für
das Alter der Galaxie mithilfe von Radioisotopen
12.6 Gyr < tg < 19.6 Gyr
Es ist eine bemerkenswerte Eigenschaft der Kernkräfte, daß es gerade die Isotope mit den richtigen
Zerfallszeiten gibt, um das Alter des Universums zu bestimmen und eine Besonderheit der Sternentwicklung
(Supernova), daß sie auch in ausreichendem Masse erzeugt werden. Da es auch Kerne mit
noch viel größeren Halbwertszeiten gibt (Indium mit Z = 49 und A = 115 hat τ � 10 14 yr), hat man
damit auch noch eine obere Schranke für das Alter des Universums.