Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 413
mit (nichtrelativistisch)
e −βµ = 1
N Ztrans · Zrot · Zvib · Zel = 1
nλ
Wir ignorieren die inneren Anregungen, Z ′ = 1, und erhalten die Saha Formel in der Form
nH2 =
�
h 2
2πmHkT
�3/2
n 2 H e Q/kT
3 Z′
(8.159)
(8.160)
Ausgehend von tiefen Temperaturen, wo praktisch alles in molekularer Form ist, n = nH2 , setzen wir für den Dissoziationsgrad
x = nH/n. Zu lösen ist dann die Gleichung
x 2 = (nλ 3 )e Q/kT
Für T = 1000K liefert das mit I = 4.5 eV
x = n10 −18 ≪ 1
d. h. x = (nλ 3 ) 1/2 10 I·5040/2T
Analoge Überlegungen gelten für die Ionisation.
Die Kontraktionsphase
Die Kontraktion verläuft im Innern mit der Helmholtz-Kelvin Zeitskala
τHK = E
L
= GM 2
2RL
(8.161)
für die Sonne sind das etwa τ = 2 Myr, bei einer Anfangsleuchtkraft von L = 100L⊙ und einer
Temperatur von T = 2300K und einem Radius von R = 60R⊙. Wie erstmals von Hayashi anhand
umfangreicher Rechnungen gefunden wurde, verläuft die Kontraktionsphase mit voll konvektivem H-
Brennen im HR- Diagramm fast parallel zur Ordinatenachse (also bei konstantem T ).
Allgemein kann man folgende Relation ableiten für die Hayashi-Linie
Teff = 2 · 10 3
� �0.194 � �0.058 M R
M⊙ R⊙
(8.162)
Als Annahme geht ein, daß das Innere durch eine Polytrope zum Index 5/3 beschrieben werden kann.
An diese wird eine graue Atmosphäre mit realistischer Opazität angeschlossen. Diese bestimmt die
maximal mögliche Leuchtkraft. Für massearme Sterne wie die Sonne wird die Opazität ganz wesentlich
durch Spurenelemente wie Na (um Elektronen zu erhalten) und durch ein Radikal (H − ) bestimmt. Die
Opazität ist dann von der Form
k = k0ρ a T b
; a = 1 ; b > 6
d. h. extrem temperaturabhängig (Saha Formel der Ionisation). Quasi statische, voll konvektive Sterne,
d. h. Sterne auf der Hayashi-Linie, haben für gegebene Masse die maximal mögliche Leuchtkraft, wird
diese überschritten kann der Stern nur noch reagieren indem er dynamisch wird.
Nach etwa 10 Myr ist die Kontraktionsphase mit dem Ausbilden eines H-He Kerns beendet. Dabei
nimmt die Leuchtkraft, L ∝ R 2 T 4 eff, mit schrumpfendem Radius stark ab.