Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

386 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
mit T = Teff, die Farbe des Sterns (s.a. Glchg. (8.4)), wie folgt. Es ist
Teff =
�
L
4πσR2 �1/4
die Temperatur. Über das Wiensche Gesetz
(8.37)
λmaxT = const = 0.2898 cm K (8.38)
erhält man dann, mit T = Teff = Tbb
λmaxTbb = 0.29 cm K (8.39)
die Farbe des Sterns.
8.1.5 Strahlungstransport und Lebensdauer
Strahlungstransport im homogenen Medium in einer Dimension
Wir geben zunächst ein einfaches Modell für den Strahlungstransport durch eine ebene, homogene
Schicht der Höhe R. Man muß unterscheiden zwischen dem (isotropen) Strahlungsfluß mit der Intensität
I = σT 4 und dem (nach oben gerichteten, anisotropen) Nettostrahlungsfluß j := Leuchtkraft/Fläche.
An der Oberfläche ist j = I = σT 4 eff und beide stimmen überein (Randbedingung). Wir
stellen uns nun die Schicht unterteilt vor in M := R/l (l := freie Weglänge der Photonen) Lamellen
mit Vakuum dazwischen. Jede Lamelle m (1 . . . M) hat die Temperatur T (m), mit der sie nach beiden
Seiten strahlt.
Damit der Strom erhalten bleibt, muß gelten
I(1) − I(2) = I(2) − I(3) = . . . = I(M) = σT 4 eff
letzteres, da am Rand keine Einstrahlung stattfindet. Die Lösung dieser Differenzengleichung lautet
I(m) = (1/m)I(1) bzw. I(1) = MσT 4 eff
Gehen wir von der Differenzengleichung zu der Differentialgleichung über, erhalten wir
j = −l dI
dx
=
4 dT
− lσ
dx
(8.40)
dj
dx
= 0 (8.41)
mit der Lösung
T 4 (x) =
R − x + l
T
l
4 eff
(8.42)
Für die Sonne ist M = R/l � 1012 und somit erwarten wir im Zentrum (Index c)
Tc = 4
�
R
l Teff � 10 3 Teff (8.43)
was um einen Faktor 2 zu klein ist. Der Grund dafür ist die falsche Geometrie. Für Kugelschalen ist
die Verdünnung gegeben durch
1
r 2
jr = −l dI
dr
4 dT
= − lσ
dr
(8.44)
d
dr (r2 jr) = 0 (8.45)