Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

278 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• FORMELN (DAS LANESCHE GESETZ)
Schließlich können wir die mittlere Temperatur abschätzen: die Relationen
Uint = 1
2 Ugrav und Uint = 3
NkT (5.16)
2
liefern RT = const, das Lanesche Gesetz, oder, mit dem mittleren Molekulargewicht ˜µ und in Zahlen
T = 4 · 10 6 � �2/3 M
˜µ ρ
M⊙
1/3 K (5.17)
Für die Kernfusion ist nicht die mittlere Temperatur wesentlich, sondern die Temperatur im Zentrum des Sterns.
Mit dem einfachen Eddingtonschen Modell (Polytrope zum Index s = 4/3)
P ∝ ρ 4/3
und T ∝ ρ 1/3
folgt für das Verhältnis ρc/¯ρ in diesem Fall, wie später gezeigt wird, ρc/¯ρ = 54. Damit erhält man für die Sonne in etwa
den korrekten Wert von Tc = 15 · 106 Kelvin und somit
Tc = 15 · 10 6 � �2/3 M
˜µ ρ
M⊙
1/3 K (5.19)
Ein Stern muß schrumpfen, um seine Temperatur Tc zu erhöhen (um weitere Fusionsreaktionen in Gang setzen zu können).
5.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht
Zuerst wird die hydrostatische Gleichgewichtskonfiguration eines Sterns bestimmt. Der Druck stammt
aus der Thermik
P = Pkin + Pγ = nkBT + a 4
T (5.20)
3
und ist die Summe von Gasdruck (Index kin) und Photonendruck. Dazu muß die chemische Zusammensetzung
des Gases bekannt sein. Für ein ideales Boltzmann Gas reicht dazu die Kenntnis des effektiven
mittleren Molekulargewichts, ˜µ, aus.
P = ρ
˜µmH
kT + a 4
T
3
Wir betrachten kurz die Grundgleichungen eines Sterns.
Aufbau eines Sterns
(5.18)
(5.21)
Die Dynamik der Materie eines Sterns wird durch die Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik
(Euler, 1755) beschrieben.
• FORMELN (DIE VOLLSTÄNDIGEN EULERSCHEN GLEICHUNGEN)
Sie lauten bei Berücksichtigung der Gravitation, wobei V das Gravitationspotential und ρ die Massendichte ist, allgemein
für eine ideale Flüssigkeit (ohne Energiedissipation durch innere Reibung):
∆V = 4πGρ (5.22)
ρ D�v
dt
= −∇P − ρ∇V (5.23)
∂ρ
∂t
= −div(ρ�v) (5.24)
Diese phänomenologischen Gleichungen können zwar mikroskopisch begründet werden, die beiden letzten können aber
nicht aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden. Die Ableitung
D�v
dt
∂
= �v + (�v∇)�v (5.25)
∂t
ist die totale Ableitung längs der Bahn.