Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

254 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Die Auswertung ist in Grenzfällen geschlossen analytisch möglich. Die Boltzmann Formel eines klassischen,
nichtrelativistischen Gases erhält man für α ≪ −1. Dann kann man den Summanden ±1 im
Nenner vernachlässigen, die Integrale sind elementar und liefern für Teilchen der Spezies i
µi − mic 2
kT
= ln
⎡
⎣ ni
�
gi
h 2
2πmikT
� 3/2 ⎤
Die Saha Gleichung folgt daraus, wenn wir für die Reaktionsenergie
Q = �
f=fin
mfc 2 − �
i=ini
den Massendefekt Q definieren.
mic 2
⎦ (4.211)
(4.212)
• BEISPIEL (DISSOZIATION EINES ATOMKERNS)
Das liefert z. B. für die vollständige Zerlegung eines Atomkerns mit A Nukleonen in Z Protonen und A − Z Neutronen:
Zp + (A − Z)n ←→ (Z, A) mit Q = Zmpc 2 + (A − Z)mnc 2 − MAc 2
für das Reaktionsgleichgewicht (gA ist das statistische Gewicht des Kerns, gp = gn = 2):
nA = gA
2A nZp n A−Z
�
n
h 2
2πmukT
�3A/2
e Q/kT
(4.213)
Wir betrachten hier des weiteren nur noch den Fall der Photoionisation (bound–free) und Rekombination
(free–bound) von H.
Ion + Elektron ←→ H-Atom + Photon
Im Folgenden beziehen sich die Indizes auf e: Elektron, p: Proton und H: neutrales H-Atom und I ist
das Ionisationspotential. Die Bedingung für das chemische Potential lautet, da für Photonen µγ = 0
ist:
µe + µp − µ H = 0 (4.214)
was auf die Saha Gleichung führt:
nenp
n H
= gegp
g H
� 2πmekT
h 2
� 3/2 �mp
m H
� 3/2
e −I/kT
(4.215)
wobei I = (me+mp−m H)c 2 ist (Massendefekt), ge ist das statistische Gewicht der Elektronen; ge = 2.
Wir betonen, daß ne kein freier Parameter ist, sondern aus dem thermodynamischen Gleichgewicht
erschlossen werden muss; die freie wählbaren Parameter sind die Temperatur T und die Baryonenzahl
Nbar = Np + N H (im Volumen V ) oder, dimensionslos, das Verhältnis von Baryonenzahl zu Photonenzahl
und die Temperatur in Einheiten von I.
• BEISPIEL (REKOMBINATION VON H IM FRÜHEN UNIVERSUM)
Als konkrete Anwendung betrachten wir H im frühen Universum. Wir beziehen den Ionisationsgrad auf die (bei der Ionisation
erhaltene) Anzahl der Atomkerne (Baryonenzahl):
α = Ne
Nbar
(4.216)
Die hohe spezifische Entropie des Universums von etwa 10 8 Photonen auf 1 Baryon besagt, daß zur Zeit der Rekombination
wenige Elektronen und viele Photonen vorhanden waren. Da hohe Temperaturen vorlagen, herrschte thermodynamisches