Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

140 KAPITEL 2. GRAVITATION
Der Zusammenhang zwischen den Winkeln φ (wahre Anomalie) und Φ (exzentrische Anomalie) ist:
sinh Φ = √ e2 sin φ
− 1
1 + e cos φ
cosh Φ
tan
=
e + cos φ
1 + e cos φ
Φ
2 =
�
e − 1 φ
tan
e + 1 2
Der differentielle Streuquerschnitt dσ ist definiert als
dabei ist
die Anzahl der ins Winkelelement do gestreuten Teilchen pro Stromstärke und Zeiteinheit
Stromstärke = Teilchenzahldichte×Geschwindigkeit = nv des Strahls der Teilchen.
dσ = 1
nv
(2.53)
(2.54)
(2.55)
dN
do (2.56)
dt
Gewöhnlich schreibt man dies in der Form
dN
= n v
dt
dσ
do
Diese Definition des Streuquerschnitts bezieht sich auf die Streuung an einem einzelnen Targetteilchen.
Die Streurate an Nj Targetteilchen erhält man also duch Multiplikation mit Nj = njV wenn V das
Volumen ist. Bezeichnen wir die Streuteilchen noch mit Index i und den Betrag der Relativgeschwindigkeit
mit vij, so kann man das wie folgt schreiben:
˙Ni =
1
σvijninjV (2.57)
1 + δij
Dabei haben wir berücksichtigt, daß bei der Streuung identischer Teilchen nur die Hälfte Streuteilchen
und die andere Hälfte Targetteilchen sind. Die Formel ist symmetrisch in Streu- und Targetteilchen,
Division durch Ni = niV liefert die Stossrate
1
τ = ˙ Ni
Ni
=
1
1 + δij
α
mv 2 i ρ
σ vij nj
(2.58)
oder einfacher
1
= nσv (2.59)
τ
In dieser Form werden wir sie in Zukunft für einfache Abschätzungen benutzen. Falls die Teilchen
Elementarteilchen mit halbzahligem Spin sind, dann muß dies im Wirkungsquerschnitt berücksichtigt
werden.
Bei der Streuung werden alle Teilchen, die einlaufend mit der Anfangsgeschwindigkeit vi den Zylinder
mit Ringfläche 2πρdρ durchsetzen, um den Winkel χ = π −2φ abgelenkt, dh. ins Raumwinkelelement
do = 2πsinχdχ gestreut.
Wir integrieren Glchg. (2.27) und erhalten für die Änderung des Winkels φ bis zum Perihel für Coulombstreuung:
�
drJ(r)
∆φ =
r2 h
�
= arccos
2m[E − U(r)] − (J/r) 2 (1 + h2 , (2.60)
) 1/2
h =
E = m
2 v2 i J = mρvi (2.61)