Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

236 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen die Energie des Oszillators gleich der Energie des abgestrahlten Photons gesetzt
haben. Umschreiben dieser Relation auf die Fourier Komponenten liefert eine Identität
¯hωou = Eosz = 2m ω 2 ou |xou| 2
Daraus folgt, daß die Größe (Oszillatorstärke)
fou = Eosz
=
¯hωou
m
¯h 2ωou |xou| 2
klassisch gleich eins ist. In 3 Dimensionen gilt dann
fou = m
¯h 2ωou
|�xou| 2
3
Für den Einstein Koeffizienten folgt
Aou = Lou
=
¯hωou
4e2
3c3¯h ω3 ou|xou| 2 = γfou
eine Relation, die wir später herleiten werden.
Die natürliche Linienbreite, ∆ω = γ ist (im Radio- und optischen Bereich) so klein,
∆ω 1 1
= =
ω ωτ 3 α3
�
2¯hω
mc2α2 �
(4.100)
(4.101)
(4.102)
(4.103)
(4.104)
daß die Profilfunktion, Φ, in astrophysikalischen Anwendungen durch eine Kastenfunktion approximiert
werden darf:
Φ(ω) = 1
∆ω f(ω) mit f(ω) = [Θ(ω − ω0 + 1
2 ∆ω) − Θ(ω − ω0 − 1
2 ∆ω)]
Die Funktion f(ω) ist 1 in der Linie, 0 sonst; (Θ ist die Heaviside Stufenfunktion). Für die Opazität
gilt dann
χω = 1
2c
ω2 p
f(ω) (4.105)
∆ω
Zum Merken: ∆λ = 10 −4 ˚A = const ist universelle Relation für die natürliche Linienbreite aufgrund
von Strahlungsrückwirkung.
Die Opazität κ
κ = 2ω˜κ
c = ω2 ω
p
c
ωγ
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ωγ) 2
führt vermittels κρ = σn auf folgenden Streuquerschnitt
σ = σT
ω 4
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ω∆ω) 2
(4.106)
(4.107)
wenn wir für γ die klassische Dämpfungskonstante (4.88) einsetzen und Glchg. (4.104) verwenden.
Für ω ≪ ωo folgt die Rayleighsche Streuformel.
Die Oszillatorstärke fou kann quantenmechanisch nur in wenigen, aber für die Astrophysik wichtigen,
Spezialfällen analytisch bestimmt werden. Dazu zählen (neben dem hier behandelten harmonischen
Oszillator und dem starren Rotator) das Wasserstoffatom und - fast ebenso wichtig - das freie Elektron.
Im Grenzfall grosser Frequenzen folgt die Streuformel von Thompson (1903)
σ T = 8π
3
� e 2
mc 2
� 2
= 8π
3 r2 e
(4.108)