Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

242 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
oder, falls man die Rayleigh-Jeans Näherung für die Antennentemperatur
Tb = c2
2kν
verwenden kann
2 Iν
∆Tl = (Tex − Tbg)(1 − e −τν ) (4.136)
Die Indizes an den verschieden (Antennen) Temperaturen bedeuten hier l : Linie, ex : Anregung und
bg Hintergrund. Im optisch dünnen Fall bleibt dann nur
∆Tl = (Tex − Tbg)τν mit τν = χνL (4.137)
Daraus kann die Säulendichte N bestimmt werden, falls die atomaren Koeffizienten (s. Glchg. (4.133))
bekannt sind. Zwei Fälle, wo das sogar analytisch möglich ist, sind der Hyperfeinübergang bei atomarem
Wasserstoff (21 cm Linie) und die Rotationsübergänge eines Moleküls.
• FORMELN (21CM HYPERFEINÜBERGANG BEI H)
Für den Hyperfeinübergang bei H gilt folgendes. Die Wechselwirkungsenergie ist die Energie der magnetischen Momente
von Elektron und Proton. Beide sind mit dem Spin assoziiert. Der Grundzustand ∆Ehfs(n = 1) hat für Gesamtspin F = 0,
antiparallele Spins = paralles Feld, die niedrigste Energie. Der Übergang F = 1 → 0 hat die Energie
∆Ehfs(n = 1) ≈ 5.6 · 10 −6
eV oder k∆T = 0.06 K (4.138)
Die dazu gehörende Frequenz ist eine der am genauesten bestimmten Größen der Physik:
νhfs = 1 420. 405 751 786 MHz (4.139)
Die statistischen Gewichte sind go = 3 (zu Spin gleich 1) und gu = 1. Damit ist selbst für die kosmische Hintergrundstrahlung
von 2.7 K die Rayleigh Näherung erlaubt und die Verteilung der beiden Niveaus ist stets thermisch im Verhältnis
1:3.
Auch der Einstein A Koeffizient kann exakt bestimmt werden. Es gilt in Zahlen für die Emission:
A ≈ 2.85 · 10 −15
was einer Lebensdauer von T = 10 Myr entspricht.
Die natürliche Linienbreite ist winzig:
∆ν
ν
= 1
2π
A
ν
s −1 (4.140)
≈ 3 · 10−25
Die natürliche Linienbreite spielt keine Rolle, deshalb wird die beobachtete Linienbreite durch die thermische und makroskopische
Bewegung (Doppler-Effekt) und durch Stöße bestimmt. Da Stöße in der ISM selten sind, ein Stoß findet etwa alle
10 Myr statt, liefern diese (nach der Holtsmark Theorie) nur einige Zehnerpotenzen im Vergleich zur natürlichen Linienbreite:
viel zu wenig um (in der Linienbreite) beobachtbar zu sein. Der entscheidende Effekt ist die Doppler-Verbreiterung.
Diese liefert mehr als 19 Zehnerpotenzen (bei v 1 km s −1 , was Tkin 40 K entspricht!):
∆ν v
=
ν c ≈ 5 · 10−6v5 Der Wirkungsquerschnitt für Absorption, den wir nach der Formel
σ = 6πλ- 2
abschätzen (σ ≈ 200 cm 2 !), wird dann herabgesetzt auf
σ = (λ- 2 A
)
∆ν
(4.141)
oder auf σ ≈ 10 −18 cm 2 . Die Breite der Linie ist dann entsprechend
∆ν = v
c νhf
Für die Säulendichte NH des Hyperfeinübergangs bei atomarem Wasserstoff ergibt sich damit in der Beobachtung ange-
passten Einheiten
N = 1.8 · 10 18
�
(Tsp/K)(dv/kms −1 ) cm −2 (4.142)