Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

168 KAPITEL 2. GRAVITATION
• FORMELN (DIE FRIEDMANN GLEICHUNGEN)
Die Metrik (Robertson Walker)
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (2.160)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (2.161)
wobei σ(χ) die Masstabsfunktion des 3-dim Raums ist:
σ1(χ) = sin χ (2.162)
σ0(χ) = χ (2.163)
σ−1(χ) = Sinhχ (2.164)
Die Ableitung nach ct bezeichnen wir mit ′
Die Friedmann Gleichungen lauten
� � ′ 2 � �2 a 1
3 + 3k = ˆκɛ (2.165)
a a
2 a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k = −ˆκp (2.166)
a a
oder, mit expliziter Berücksichtigung des Vakuums
� � ′ 2 � �2 a 1
3 + 3k
a a
2
= ˆκ(ɛ + ɛv) (2.167)
a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k
a a
= −ˆκ(p − ɛv) (2.168)
• FORMELN (EINE MINI-LAGRANGE-FUNKTION)
Explizit ist
R00 = −3 a′′
Rαβ =
�
a
a
−
′′ � ′ a
+ 2
a a
R =
�
a
−6
′′
a +
� ′ a
a
� 2
� 2
� � �
2
1
+ 2k
a
� � �
2
1
+ k
a
gαβ
Die verkürzte Wirkung, die nur noch den Skalenfaktor a als Variable enthält (und die 3-Geometrie festhält)
δSg = − 1
� �
a
−6
2ˆκ
′′
a +
� � ′ 2 � � �
2
a 1 3 dΩ
+ k a
a a c
führt zunächst auf die Lagrange-Dichte
Lg = 3
�
a
ˆκ
′′
a +
� � ′ 2 � � �
2
a 1
+ k
a a
(2.169)
(2.170)
(2.171)
(2.172)
(2.173)
und, nach Umintegration, auf die Lagrange-Funktion (zusätzlich mit Quellterm)
Lg = 3 � � ′ 2 3
−a(a ) + ka − ɛa (2.174)
ˆκ
Die (zeitlich erhaltene) Gravitations-Energie ist negativ, die thermische (plus Ruhmassenenergie) ɛa3 ist positiv. Die Allgemeine
Relativitätstheorie verlangt, daß die Summe
′ ∂L 3 � � ′ 2 3
Eo = a − L = −a(a ) − ka + ɛa (2.175)
∂a ′ ˆκ
verschwindet.
Bei der Variation gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik
δ(ɛa 3 ) = −pδ(a 3 ) (2.176)
Damit folgt (nach Kürzen mit 3/ˆκ)
2 a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k = −ˆκp (2.177)
a a
Die drei Gleichungen, ((2.175), (2.176) und (2.177)) sind die Friedmann Gleichungen (mit Identität), wenn wir Eo = 0
setzen.