Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 411
folgt (mit M = ˜µmHN) für die Jeanslänge (d. h. für den Jeans Radius RJ)
� �1/2 15kT
RJ =
4πG˜µmHρ
(8.143)
Die hier (implizit) auftretende Größe kT/m ist i. w. das Quadrat der Schallgeschwindigkeit. Dies kann man auch so
interpretieren: geht man von konstanter Masse und Temperatur aus, dann gibt stets es einen kritischen Radius (den Jeans
Radius RJ) bei dessen Unterschreitung das Gas instabil wird. Die dazu gehörende kritische Masse (die Jeans Masse MJ)
ist gegeben durch
� �1/2 � �3/2 1 kT
MJ ≈
ρ G
Zum Vergleich einige Beispiele für Gas in unserer Galaxis:
1. Interstellares Medium: T � 10000 K, n � 1 cm −3
MJ = 10 7 M⊙ und RJ = 500 pc
2. Medium der Spiralarme: T � 100 K, n � 100 cm −3
MJ = 3 · 10 3 M⊙ und RJ = 4 pc
3. Dunkelwolke: T � 10 K, n � 1000 cm −3
MJ = 10M⊙ und RJ = 1 pc
4. Protostern: T � 10 K, n � 10 7 cm −3 , ρ � 10 −17 g cm −3
MJ = 1M⊙ und RJ = 0.1 pc
Das Ebert-Bonnor–Kriterium
Falls der Druck Pext = P (R) an der Oberfläche nicht mehr verschwindet, dann lautet dem Virialsatz Egrav + 2Ekin =
4πR 3 Pext, oder
−GM 2
R + NkT = 4πR3 Pext (8.144)
Falls also der Stern in einem Medium sitzt, das auf ihn drückt, dann setzt Instabilität bereits ein, falls:
Pext = 1.1G −3 M −2 (kT/m) 4
V = 0.22(GmM/kT ) 3
(8.145)
(8.146)
3. Das Hoyle-Rees Stabilitätskriterium für Fraktionierung
Dies ist ein dynamisches Kriterium, welches zwei Leuchtkräfte vergleicht: die beim Kollaps freigesetzte Gravitationsenergierate
2 GM
Lgrav ≈
R (Gρ)1/2 ≈ G3/2 M 5/2
R 5/2
und die maximale von Staub, L, optisch dicker Fall (T = T 4 Staub ):
(8.147)
LStaub = f(4πR 2 )(σT 4 ) ; f ≪ 1 (8.148)
Gleichsetzen der beiden Leuchtkräfte liefert eine kritische Masse
� �1/5
3 64π
Mrad =
3 f 2 (σT 4 ) 2R9 G3 (8.149)
Die Fragmentierung stoppt, falls diese Masse stabil ist, d. h. kleiner als die Jeans Masse MJ. Wir setzen also Mrad = MJ
und eliminieren R vermittels 4πρR 3 = 3M (nicht R = RJ). Das liefert die untere Grenzmasse für Fragmentierung, Mfrak
In Zahlen
Mfrak =
� π 9
9
�1/4
1
(σG3 −1/2
f
) 1/2
Mfrak = 0.02M⊙f −1/2 T 1/4
� �9/4 ρk
T
m
1/4
(8.150)
(8.151)