Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

360 KAPITEL 7. DIE ERDE.
und integrieren die Maxwell Verteilung über v, so erhalten wir die barometrische Höhenformel für
nicht zu grosse Höhen
n(x) = noe −σ(h) mit σ(h) = h
H
und H = kT
mg
Die Größe H heißt Skalenhöhe. Unter Skalenhöhe versteht man also die Höhe, bei welcher der Anteil
auf 1/e abgesunken ist. Analog kann man eine Halbwertshöhe definieren
n(x) = no2 −˜σ(h) mit ˜σ(h) = h
˜H und ˜ H = H ln 2 = 0.69H
Sie ist von der Masse der Teilchen abhängig. Für Luft und T = 290 K beträgt sie H = 8.44 · 10 5 cm.
( ˜ H = 5.85 · 10 5 cm).
In einer ruhigen Atmosphäre würden sich demnach die schweren Moleküle am Erdboden, wo sie erzeugt
werden, sammeln. Zum Glück gibt es eine ständige Durchmischung der Luft. Der Grund dafür
ist der negative Temperaturgradient: warme Luft steigt auf, kalte sinkt ab. Man kann deshalb mit einem
mittleren Molekulargewicht von ˜µ = 28.9 rechnen. An der Erdoberfläche (Index o) gelten dabei die
Werte der Tabelle.
Die Lösung für das globale Problem lautet analog
n(x) = noe −σ(r) mit σ(r) =
φ(r) − φo
kT
und φ(r) = − GmM
r
(7.39)
Wir sehen, daß im Unendlichen die Dichte nicht verschwindet, falls sie an der Erdoberfläche von Null
verschieden ist. Das ist eine offensichtlich unsinnige Konsequenz.
Die Lösung des Paradoxons: die Gleichungen für ein statisches Gleichgewicht Erde - Atmosphäre
dürfen nicht angewendet werden, da es ein solches Gleichgewicht nicht gibt. Die Atmosphäre muß
ständig verdampfen, was sie auch tut.
Verdampfung der Atmosphäre
Um den Effekt quantitativ zu bestimmen, benutzen wir zunächst obige Werte für die Erdoberfläche
(Index o) und erhalten für den Faktor σ im Exponenten für Luft
yo = σ(∞) = mVo
kTo
= R
H
= 660
wenn wir konstante Temperatur annehmen. Luft kann vom Erdboden aus nicht verdampfen. Das gilt
auch in größeren Höhen.
Eine interessantere Abschätzung erhalten wir dort für atomares H: setzen wir eine mittlere Temperatur
von 1500 Kelvin an, so folgt
yo = σ(∞) = mVo
kTo
= 22 m
mH
(7.40)
Aus der barometrische Höhenformel folgt dann, daß die Dichte von H im Unendlichen auf den exp(−xo)
= exp(-22)–ten Teil des Oberflächenwertes abfallen sollte.
Tatsächlich verdampft die Erdatmosphäre nicht vom Erdboden aus (bei konstanter Temperatur), sondern
aus einer Höhe von etwa H = 1500 km heraus, der sogenannten Exosphäre, Index x. Sie ist
dadurch definiert, daß hier die freie Weglänge, l, der Atome vergleichbar mit der Skalenhöhe H ist.
l = 1
nσ
= H = kTx
mgx
= kTxr 2 x
GmM