Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 301
• BEISPIEL (REISE ZUM ZENTRUM DER ERDE)
Eine Reise zum Zentrum der Erde (durch einen hypothetischen Luftschacht) dauert (ein Viertel von Glchg. (5.154)) dem-
nach
T = Π
4 =
�
3π
16 ˆ Π⊕
also etwa 21 Minuten.
Die Formel (5.154) kann wie folgt geschrieben werden
�
R
T = 2π ; g =
g
GM
R2 Das ist die Galileische Formel für die Pendelschwingung (Länge l = R gleich Erdradius).
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt
v = R
T
= 5.06 km s−1
Setzt man (für die Schallgeschwindigkeit der Luft im Schacht) cs = 1/3 km s −1 , so entspricht dies v/cs = 15.3 Mach.
Kollaps einer Gas Kugel
Beim freien Kollaps ist
¨r = a = − Gm(r0)
r 2
(5.156)
(5.157)
(5.158)
zu lösen. Dabei ist m(r0) die konstante Masse innerhalb des Radius r(0) = r0 zum Zeitpunkt t = 0. Die
Bewegung ist eine homologe Kontraktion: für jede Massenschale innerhalb von r gilt r(t) = f(t)r0 und
die Dichte bleibt homogen. Die Lösung ist eine Zykloide und ihre Darstellung lautet in Parameterform
cos 2 ζ = f(t) ; ζ + 1
sin 2ζ =
2
�
8πGρ
t (5.159)
3
wobei ρ = ρ0 gesetzt wurde. Damit ist die Frei-Fallzeit (in die Singularität)
�
3π
tff =
32Gρ
(5.160)
was um den Faktor √ 2 schneller ist. Für die Oszillation erhalten wir T = Π, Glchg. (5.154) wie weiter
unten gezeigt wird.
Polytrope Zustandsgleichungen
Wesentlich realistischer und immer noch einfach genug zu integrieren sind Zustandsgleichungen der
Form (der Index p ist ab jetzt weggelassen, Kp = K)
P = Kρ s
und s = 1 + 1
n
(5.161)
Sie heißen Polytrope zum Index s und man definiert den Index n so, daß für die Lane-Emden Differentialgleichung
(5.165), s.u. eine einfache Beziehung gilt.
Der Grenzfall n = 0 liefert inkompressible Materie. Die einfachsten Sternmodelle haben für gegebene
Zustandsgleichung nur einen Parameter: die Masse M oder die zentrale Dichte ρc. Komplikationen wie
Rotation, Magnetfeld oder Oszillationen werden erst einmal ignoriert. In der Newtonschen Theorie
kann man in diesem Fall streng zeigen, daß die Gestalt eines Systems von Teilchen ohne Scherkräfte
(’ideale Flüssigkeit’) eine Kugel ist (Minimum der freien Energie).