Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.5. STABILITÄT 315
1. Interstellares Medium: T � 10000 K, n � 1 cm −3
MJ = 10 7 M⊙ und RJ = 500 pc
2. Rekombination im Kosmos: T � 15000 K, n � 1 cm −3
MJ = 5 · 10 5 M⊙ und RJ = 500 pc
5.5.5 Stabilität der Sternpulsationen
Wir untersuchen jetzt die Stabilität etwas genauer und realistischer anhand der bereits betrachteten
Sternmodelle. Wir benutzen als unabhängige Variable die Radialkoordinate r und betrachten spezielle
Sternpulsationen: stehende Wellen mit sphärischer Symmetrie, wobei für die ungestörte Lösung der
Index o gilt und ′ = d/dr die Ortsableitung bedeutet.
Die Schwingungsgleichung
Aus der Eulerschen Bewegungsgleichung (5.89) wird im Falle von Kugelsymmetrie:
�
0 = −
und
� Po
dr
o
− Gρo(ro)mo(ro)
r 2 o
(5.245)
� r
mo(r) = 4π ρo(x)x
0
2 dx (5.246)
Die Randbedingungen lauten:
mo(0) = 0 und Po(Ro) = 0 (5.247)
wobei Ro der Radius des ungestörten Sterns ist. Multiplikation mit r und partielle Integration liefert
die wichtige Beziehung
�
− Ug = 3 P dV (5.248)
Jetzt kann man nicht mehr Fourier transformieren, da ρo, Po und mo ortsabhängig sind. Für die Lösung
eines rein radial pulsierenden Sterns machen wir den Ansatz für die Auslenkung aus der Ruhlage:
r(t, ro) = ro + ξ(t, r) (5.249)
Mit δf bezeichnen wir die Eulersche Variation der Größe f, d. h. die Änderung von f, die ein am festen
Ort befindlicher Beobachter an f misst. Daneben betrachten wir die Lagrangesche Variation, ∆f, die
totale Variation, die ein mit der Materie bewegter Beobachter an der Größe f mißt. Der Zusammenhang
zwischen beiden ist
∆f = f(r) − fo(ro) = ξ f ′ o + δf (5.250)
wobei die zweite Relation die lineare Näherung ist. Für die totale Variation des Drucks, ∆P , gilt bei
adiabatischer Änderung
∆P
P
= γ ∆ρ
ρ
Die Massenerhaltung liefert die exakte Lagrangesche Variation
integral: m(r) = mo(ro) d. h. ∆m = 0
oder, in linearer Näherung,
(5.251)