Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

248 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Klassisch gilt: ein Oszillator hat eine einzige Grundfrequenz ωo, der Extinktionskoeffizient ist das Produkt
aus universeller Konstante und normierter Profilfunktion, Φ(ω), welche die Dämpfungskonstante
enthält:
χω = π
2c ω2 p Φ(ω) mit
�
Φ(ω − ωo)dω = 1 (4.168)
Die wesentliche Änderung, die durch die Quantenmechanik dazukommt, ist die Behandlung der Übergänge
(d. h. der auftretenden Frequenzen). Sie kann durch die Oszillatorstärke, welche wie folgt definiert ist:
fou = m
2
2ωou|xou|
¯h
berücksichtigt werden. Dabei ist
(4.169)
�
xou = = ψox ¯ ψud 3 x (4.170)
das Übergangsmatrixelement für el. Dipolübergänge von o nach u. Die hier auftretende Übergangsfrequenz
ωou = Eo − Eu
¯h
ist vorzeichenbehaftet und es gilt der f− Summensatz
(4.171)
�
fou = 1 für jedes u (4.172)
o
Klassisch lautet die Dispersionsrelation für den Brechungsindex n = √ ɛ in der Nähe einer Resonanz
zur Frequenz ωou bei Vernachlässigung der Dämpfung
n 2 − 1 = ω 2 p
1
ω 2 − ω 2 o
; ω 2 p = 4πe2 ne
me
(4.173)
In der Quantenmechanik wird daraus für festes u, mit verschiedenen, für jedes Niveau charakteristischen,
Oszillatorstärken fou
n 2 − 1 = ω 2 p
�
o
fou
ω 2 − ω 2 ou
• ANMERKUNG (DER LINEARE HARMONISCHE OSZILLATOR)
Der Hamilton-Operator ist (ω ist die Grundmode des Oszillators, die Masse ist 1 gesetzt)
H = 1
2 p2 + ω2
2 q2
mit den Eigenwerten
�
En = ¯hω n + 1
�
2
für ganze Zahlen n. Für gegebenes n gibt nur zwei Übergänge mit den folgenden Matrixelementen
1. Emission: n → n + 1
= √ �
¯h
n + 1
2mω
2. Absorption: n → n − 1
= √ �
¯h
n
2mω
Daraus folgt, wenn wir das Vorzeichen beachten
fn+1,n = n + 1 und fn−1,n = −n
(4.174)
(4.175)
Beim Atom, also beim Coulombpotential, ist nur das H Atom noch analytisch (und algebraisch) behandelbar.