Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

170 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die Parameter des Standard Modells
Ähnlich wie man die Masse der Planeten und der Sonne bestimmen kann, kann auch die Masse des
Kosmos aus seiner Dynamik bestimmt werden. Grundlage ist die Allgemeine Relativitätstheorie Einsteins.
Im Standard Modell der Kosmologie reichen zwei Parameter, zur Festlegung: die Hubble Konstante
H und die Dichte ρ, die mit dem Parameter Ω
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
(2.183)
parametrisiert wird. Im einfachsten aller Modelle ist Ω = 1 und es genügt eine einzige Größe, die
kritische Dichte, ρc, den Kosmos und seine Dynamik vollständig zu bestimmen.
2.4.3 Zum Nachschlagen
• DEFINITION (PARAMETER DER ART)
1. c die Lichtgeschwindigkeit.
2. G ist Newtonsche Gravitationskonstante
G = 6.6732 · 10 −8
3. ˆκ die relativistische Kopplungskonstante
ˆκ = 8πG
c 4
4. ɛ = ρc 2 die Massen-Energiedichte,
5. ρc die kritische Dichte, (Ω = 1)
cm 3 g −1 s −2 (2.184)
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
6. R oder a Skalenfaktor der Expansion (’Radius’ des Universums)
7. Ω der dimensionslose Dichteparameter, (bestimmt in der ART die Geometrie)
8. H Hubble Expansionsparameter und kritische Dichte des Universums
H = ˙ R
R
; ρc = 3
8πG H2
; Ω = ρ
ρc
= 8πG
3 ρH−2
• FORMELN (DIE KOVARIANTE ABLEITUNG UND DIE CHRISTOFFELSYMBOLE)
Die 4–dim. Raumzeit der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) beschreiben wir mit den Koordinaten
Die Metrik
(2.185)
(2.186)
(2.187)
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z (2.188)
ds 2 = gikdx i dx k
hat die Signatur
(2.189)
(+ − − −) (2.190)
Das invarianten 4-er Volumelement ist
√ −gdΩ = √ −gcdtdxdydz mit g := det(gab) (2.191)
Die Christoffelsymbole Γ i kl
zusammen:
Γ i kl = 1
2 gim
� ∂gmk
∂x
bestimmen den affinen Zusammenhang. Sie hängen wie folgt mit dem metrischen Tensor
∂x
∂x m
∂gml ∂gkl
+ − l k
Damit gilt für die kovariante Ableitung eines Vektors
A i ;l = ∂Ai
∂x l + Γi klA k
�
(2.192)