Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

372 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Falls ein externes Drehmoment, � T , an einem starr rotierenden Körper angreift, so daß � Ω = � Ω(t) wird,
liefert Drehimpulserhaltung die Bewegungsgleichung:
d
dt � J = d
dt IΩ = � T (7.85)
Skalare Multiplikation dieser Gleichung mit � Ω liefert den Energiesatz für die Rate der dem Systen
hinzugefügten Energie, ˙ E+:
˙E+ := � Ω � T = � Ω d� L
dt
= 1
2
d
dt
� �
2 L
I
− 1 d
L2
2 dt
1
I = ˙ Etot
wobei für die letzte Umformung das Varionationsprinzip benutzt wurde:
1 d
L2
2 dt
1
I
+ d
dt (Egrav + Eint) = 0
(7.86)
Bei starrer Rotation wird die gesamte Energierate, ˙ Etot, verlustlos gespeichert, Wärme wird nicht dissipiert
(wichtig beim Abbremsen von Pulsare).
Die inkompressible Flüssigkeit
Die Bedeutung der inkompressiblen Flüssigkeit liegt darin, daß ihre Gleichgewichtsbedingung analytisch
exakt bestimmt werden kann. Die inkompressible Flüssigkeit ist der Grenzfall einer Polytropen
ɛ ∝ n γ
2 d
; P = n
dn
ɛ
n
= (γ − 1)ɛ (7.87)
wobei der adiabatische Index, γ, nach Unendlich geht und die innere Energiedichte ɛ nach Null, so
daß P ∝ γɛ endlich bleibt (und ungleich Null, P > 0). Die Gesamtenergiedichte ist relativistisch
ɛtot = ρc 2 + ɛ.
Die Gleichgewichtsbedingung einer inkompressiblen Flüssigkeit (bei der h = p/ρ ist) lautet
∇(Φ + p
ρ + Zrot) = 0 (7.88)
und führt auf
p = ρ(C − Φ − Zrot) (7.89)
Die Gleichgewichtskonfiguration kann exakt (Maclaurin 1742 und Jacobi 1834) bestimmt werden.
• ANMERKUNG (POTENTIALTHEORIE)
Die Aufgabe, die Gleichgewichtskonfiguration einer idealen Flüssigkeit unter Einfluß der Gravitation zu bestimmen, gehört
in das Gebiet der Potentialtheorie. Man kann streng zeigen, daß ohne Rotation die Gestalt eine Kugel ist.
Newton bestimmte 1687 bereits die Abplattung der Erde aufgrund ihrer Rotation. Exakte Ergebnisse mit Rotation gibt es
nur noch für die inkompressible, ideale Flüssigkeit.
Maclaurin (1742) fand die nach ihm benannten 2-achsigen Rotations-Ellipsoide mit grosser Hauptachse a = b und und
kleiner Hauptachse c = a √ 1 − e 2 .
Jacobi (1834) fand eine weitere Sequenz, und zwar 3-achsige Ellipsoide a > b > c bei hohem Drehimpuls (aber geringerer
Energie). Diese sind von besonderem astrophysikalischem Interesse, da ihr Quadrupolmoment zeitlich veränderlich ist und
sie somit Gravitationswellen abstrahlen.
Poincaré fand (1855) eine weitere Sequenz zur Jacobi Sequenz.
Nicht gefunden hat man bisher exakte toroidale Lösungen, die bei sehr hohem Drehimpuls existieren sollten.
Es ist nützlich, dimensionslose Masse für die Verformung, die Rotations Frequenz Ω und den Drehimpuls
J einer Masse M mit Radius R zu bestimmen.