Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

238 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
4.2.3 Hohlraumstrahlung
Thermodynamisches Gleichgewicht ist ein Paradigma der Vielteilchenphysik. Es erlaubt die Bestimmung
der thermodynamischen Funktionen aus rein statistischen Überlegungen. Insbesondere ideale,
nicht wechselwirkende Teilchen (Felder) können exakt behandelt werden.
Im thermodynamischen Gleichgewicht bildet sich in einem Hohlraum, der in einem Wärmebad auf eine
Temperatur T gehalten wird, eine elektromagnetische Strahlung aus, E und B seien die Feldstärken
des elektrischen und des magnetischen Feldes. Für freie Wellen im Vakuum ist |E| = |B|. Die Energiedichte
sei u. Aus der Elektrodynamik Maxwells folgt für u
u = E2 + B 2
8π
= E2
4π
; E = Ae i(� k�x−ωt)
Die Größe u wird nun spektral zerlegt (ω = 2πν) in die spektrale Energiedichte uν:
�
u = uνdν ; uν = U(ν) = U(νou) (4.111)
Statt uν werden wir auch U(ν) oder für Linienstrahlung U(νou) schreiben.
• ANMERKUNG (MODELL DER HOHLRAUMSTRAHLUNG)
Konkret bildet sich im Hohlraum der Kantenlänge L ein System von stehenden Wellen aus mit Wellenvektoren
� k = (kx, ky, kz) = (2π/L) · (nx, ny, nz)
Die nx, ny und nz sind ganze Zahlen. Die Anzahl der möglichen Moden Z(ν) mit Wellenlängen λ = c/ν, die (L/λ) 2 ≥
n 2 x + n 2 y + n 2 z erfüllen, kann durch das Volumen einer Kugel abgeschätzt werden und beträgt:
Z(ν) = 2 4π
3
� �3 Lν
c
dabei ist gγ = 2 der statistische (Besetzungs)Faktor. Differentiell gibt das, wenn wir für das Volumen V = L 3 = d 3 x
setzen, für die Anzahl der Moden (im Phasenraum) im Intervall [ν . . . ν + dν]
dZ(ν) = gγ V 4πc −3 ν 2 dν = gγ h −3 d 3 xd 3 p (4.112)
In dieser differentiellen Form haben wir für den Impuls der Photonen p = hν/c gesetzt und d 3 p = 4πp 2 dp benutzt.
Wir wollen im folgenden zeigen, wie die spektrale Energiedichte uν = U(ν) als Funktion ihrer
möglichen Parameter schrittweise bestimmt wurde und welche Annahmen dabei gemacht wurden.
Das Kirchhoffsche Gesetz ist hier ein wichtiger erster Schritt. G. R. Kirchhoff zeigte anhand des 2.
Hauptsatzes der Thermodynamik, daß uν für einen schwarzen Körper nur von T abhängen kann,
uν = f(ν, T )
also eine universelle Funktion ist — unabhängig von der Materialbeschaffenheit (d. h. von den physikalischen
Prozessen) der Strahler der Wandung. Emission und Absorption eines Körpers stehen in
einem bestimmten Verhältnis zueinander. Falls wir Emission pro Steradian mit ην und Absorption (bei
der Frequenz ν) mit κνρBν bezeichnen, dann besagt das Kirchhoffsche Gesetz
ην
κνρ = Bν = c
4π uν
(4.113)
Mit Bν haben wir die spektrale Helligkeit B(νou) eingeführt und berücksichtigt, daß im thermodynamischen
Gleichgewicht die Strahlung isotrop ist (Faktor 4π beim Umrechnen).
Der zweite Schritt ist das Gesetz von Stefan und Boltzmann. Stefan (1835 - 1893) und Boltzmann
zeigten, daß das Integral über alle Frequenzen
u = aT 4
(4.114)