Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

312 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Wir definieren damit die Schallgeschwindigkeit cs
c 2 � �
∂P
s = = γ
∂ρ
P
ρ
S
(5.223)
Chemische Reaktionen spielen normalerweise keine Rolle.
Bei entarteten Sternen (und im frühen Kosmos) können diese durchaus wichtig sein und wir müßen �
i µi dNi = 0
überprüfen.
Für adiabatische Änderungen gilt für den adiabatischen Index γ und für P (T ) beim idealen Gas aus Molekülen
γ =
f + 2
f
und P 1−γ T γ = const (5.224)
wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet. Es ist f = 3 für ein ideales, einatomiges Gas.
In Molekülwolken kann T = const u. U. eine gute Näherung sein.
δP
δρ =
� �
∂P
=
∂ρ
kT
m
T
Die kritischen Frequenzen liegen bei (1/300 Jahren).
Im weiteren werden wir der Einfachheit halber Homogenität für alle Grundgrößen fordern: Vo, Po und
ρo. Der Term δρgradVo fällt weg und die Eulersche Bewegungsgleichung vereinfacht sich dann zu
ρo
.
�v= −c 2 sgradδρ − ρogradδV (5.225)
Auch die Schallgeschwindigkeit cs wird als konstant angenommen.
• ZUSATZ (RECHNUNG)
Wir differenzieren die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom und erhalten
¨ρ = −div(ρo
.
�v)
Einsetzen in die Divergenz der Eulersche Bewegungsgleichung liefert
¨ρ = c 2 s∆δρ + ρo∆δV
Den letzten Term ersetzen wir durch die linearisierte Poisson Gleichung,
∆δV = 4πGδρ
Das liefert die Master Gleichung der linearen Störungstheorie.
Die Master Gleichung (Jeans, 1929) der linearen Störungstheorie lautet damit
¨ρ = c 2 s∆δρ + 4πGρoδρ (5.226)
Sie ist von der Form der Schrödinger Gleichung (und wurde von diesem 1939 auf den expandieren
Kosmos angewandt). Diese Gleichung schreiben wir noch dimensionslos um, mit der Variablen δ =
δρ/ρo wie folgt:
¨δ = c 2 s∆δ + 4πGρoδ (5.227)
Die analoge Gleichung für Sternpulsationen lautet
¨δ = 1
ρ
�
γ P
r2 (r2δ) ′
�′
+ 4πGρoδ (5.228)
wobei ′ sich auf die Variable r bezieht.
Im expandierenden Kosmos lautet die Gleichung
¨δ + 2 ˙a
a ˙ δ = c2 s
a 2 ∆δ + 4πGρoδ (5.229)
wobei a(t) der Skalenfaktor der Metrik ist.