Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 299
und außen, für r > R, gilt:
V = −G M(R)
(5.136)
r
Wir führen im Innern, wo m(r) eine monoton wachsende Funktion von r ist, dimensionslose Variablen ein: diese sind die
Radialkoordinate, ξ = r/R und relative Masse, m = M(r)/M(R) = ξ1/3 .
V = G M(R)
(ξ
2
2 − 3) (5.137)
P = G ρM(R)
(1 − ξ
2
2 ) (5.138)
Für Untersuchungen, bei denen die Masse fest vorgegeben ist, ist es nützlich, statt der Radialkoordinate ξ als unabhängiger
Variablen die dimensionslose Masse m zu benutzen. Man erhält dann:
V = G M(R)
(m
2
2/3 − 3) (5.139)
P = G ρM(R)
(1 − m
2
2/3 ) (5.140)
Dadurch werden die Gleichungen leider singulär im Ursprung m = 0.
• BEISPIEL (DIE HOMOGENE GASKUGEL IN DER ART)
Es ist lehrreich die Newtonsche Gravitationstheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie in Bezug auf ihre Beschreibung
des gravischen Gleichgewichts eines Sterns zu vergleichen. In der ART lautet die Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts
(die Tolman - Oppenheimer - Volkoff Gleichung, abgekürzt zu TOV Gleichung) wie wir später zeigen werden:
P ′ = −G (ρ + ζP ) � m + 4πζr 3 P �
r(r − 2ζGm)
mit der Randbedingung
; ζ = 1
c 2
(5.141)
P (R) = 0 (5.142)
Wir wollen hier nur einige relativistische Aspekte ihrer Lösungen erläutern. Eine ausführliche Diskussion folgt im Kapitel
Neutronensterne.
Als Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts wird die TOV-Gleichung exakt lösbar für ein Sternmodell (eines Neutronensterns)
mit inkompressibler Materie, d. h. mit der Zustandsgleichung ρ = const. Für die Masse M(r) erhalten wir
eine zur Newtonschen Relation formal identische Abhängigkeit von Dichte ρ und Masse M(r).
Mit den dimensionslosen Variablen
y = P
ρc2 ; x = 4πG
ρr2 ; x0 =
3c2 GM
c2 (5.143)
R
lautet die TOV-Gleichung dann mit ξ = r/R und x0 = const im Innenraum,
− 2 dy (1 + y)(1 + 3y)
=
dx 1 − 2x
Die Lösung dieser Riccatischen Differentialgleichung ist elementar. Dazu schreibt man
dy
dx
= −
(1 + y)(1 + 3y) 2(1 − 2x)
und integriert. Das liefert die sog. innere Schwarzschild-Lösung mit folgendem Druck P :
P = ρc 2
�
1 − 2x0ξ2 − √ 1 − 2x0
3 √ 1 − 2x0 − � 1 − 2x0ξ2 mit
r
ξ =
R
und dem erstaunlichen Ergebnis, daß der Druck im Zentrum
P (0)
ρc 2 = 1 − √ 1 − 2x0
3 √ 1 − 2x0 − 1
(5.144)
(5.145)
(5.146)
(5.147)
für endliche Dichte, Masse und Radius unendlich wird!
Dies ist die Grundlage für die Existenz schwarzer Löcher. Wir sehen, daß die Größe σg = 2x0 ein Maß dafür ist, wie
relativistisch ein Stern ist, hier, wie nah der tatsächliche Radius des Sterns an den Schwarzschildradius Rs heranreicht. Ein
inkompressibler Stern muß
σg = 2x0 < 8/9 (5.148)
erfüllen, realistische Sterne erreichen viel weniger.