Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

5.5. STABILITÄT 317
Variationsprinzip der Perioden
Die Schwingungsgleichung für die Sternpulsationen, (5.256), ist selbstadjungiert. Daraus folgt, daß die
Eigenwerte ω 2 reell und diskret sind und daß die Bestimmung der Eigenwerte in ein Variationsprinzip
umgewandelt werden kann.
Mit den Definitionen (vgl. (5.48) und (5.49))
K = γP r −2
W = ρr −2
wobei K, W, Q alle positiv sind, erhält man:
ω 2 �
′ 2 2 (Kζ − Qζ )dr
= min �
W ζ2dr Q = −4P ′ r −3
ζ = ξr 2
(5.258)
(5.259)
Für γ = 4/3 ist ξ = r exakte Lösung (homologe Transformation) mit ω = 0. Statt einer periodischen
Schwingung verhält sich ξ nun aperiodisch, ζ ∝ at + b, und die Lösung ist instabil.
Für ξ = r als Ansatz im Variationsprinzip erhält man
ω 2 =
� (9γP − 4P ′ r 3 )r 2 dr
� ρr 4 dr
= (3¯γ − 4) −Ug
Ĩ
(5.260)
dabei ist −Ug = 3 � P dV , Glchg. (5.248) benutzt worden, Ĩ ist das Trägheitsmoment bzgl. Pulsation,
Ĩ =
M�
0
r 2 dm und I = 2
3 Ĩ
Glchg. (5.80), und der Mittelwert des adiabatischen Index ist
�
2 γP r dr
¯γ := �
P r2dr • ZUSATZ
Allgemeiner ist ξ = r n ein möglicher Ansatz, das liefert im Integranden
((2 + n) 2 γ − 4(2n + 1))P r 2n mit dem Minimum n =
Pulsperioden typischer Sterne
4 − 2γ
γ
(5.261)
Da für Sternmaterie stets (3¯γ − 4) > 0 ist, könnte man vermuten, daß es keine obere Massengrenze für
Sterne gibt. Tatsächlich ist unsere Näherung, welche auf dem adiabatischen Index für massive Sterne
beruht, dafür zu grob.
Man muß dann die vollen Gleichungen mit Opazität und Strahlungstransport betrachten.
Wir geben in der nebenstehenden Tabelle einige berechnete
Werte für Ptheor = Π0 und für beobachtete Pobs Pulsperioden
Pulsperioden
(die Fundamentalmode) für ausgewählte Objekte an. Im fol- Objekt Ptheor Πobs
genden Kapitel betrachten wir ihre Herleitung genauer. Neutronenstern 0.1 . . . 1 ms
Die ersten drei Objekte sind entartet. Die seismische Grund- Weißer Zwerg 1 . . . 10 s
schwingung der Erde (beobachtbar nach starken Erdbeben) Erde 1 h 54 min
ist aufgespalten (durch die Coriolis Kraft) in Π0 = 53.1 min
Sonne 57 min 48 min
und 54.7 min.
RR Lyrae 10 h 10 h
Weiße Zwerge oder Neutronensterne sind bisher nur bei ex-
Cepheiden 1 d . . . 1 yr 1 d . . . 1 yr
tremer Rotation nicht aber bei Pulsation beobachtet. Der Radiopulsar
PSR B1937 + 21 hat eine Rotationsperiode von
Tab. 5.4: Pulsperioden
nur 1.5 ms, der Weiße Zwerg WZ Sge hat P = 27.8 Sekunden.
Viele Röntgenburster zeigen Quasi-periodische Oszillationen im kHz Bereich, was ebenfalls als Rotationsperiode
(des Neutronensterns und seiner Akkretionsscheibe) gedeutet wird.