Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

370 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Der mittlere Radius ist definiert zu
R = (ReRp) 1/2 = 6.371 km
Für die Vertikalkomponente der Gesamtbeschleunigung ergibt sich so :
g = go
�
1 −
� �
Zo
go
cos 2 φ
wobei φ der Winkel zwischen � Z und �r ist.
�
• ANMERKUNG (NEWTONS BESTIMMUNG DER FORM DER ERDE)
Um die Form der Erde zu bestimmen, machte Newton (1687) folgendes Gedankenexperiment: man bohrt an Äquator und
Pol je ein Loch bis zum Erdmittelpunkt (als kommunizierende Röhren). Dann füllt man Wasser auf. Die Länge der beiden
Wasserarme geben dann die Form der Erde, d. h. diese ist durch das Verhältnis der Kräfte an Pol und Äquator bestimmt. So
konnte er für die Abplattung
bestimmen.
f = (Re − Rp)
Re
= 5Ω2R3 =
4GM⊕
1
297
Die Erde ist nicht inkompressibel, gemessen werden
f⊕ = 1
298.25
(7.70)
(7.71)
Für Trägheitsmoment I und Drehimpuls J der Erde gelten folgende Werte, die aus einem numerischen
Modell für die Erde abgeleitet sind:
I⊕ = 8 · 10 44
g cm2 � 2 2
M⊕R
5
J⊕ = 6 · 10 40
g cm 2 s −1
Für die Bestimmung des Trägheitsmoments I ist die Erde also in guter Näherung inkompressibel.
Rotationsdeformation
Wir betrachten die Rotation eines selbst-gravitatierenden, flüssigen Körpers und zwar zunächst starre
Rotation. Wir bezeichnen mit �r den Ortsvektor im Schwerpunktsystem, dann ist
�u := d�r
dt = � Ω × �r um die z-Achse (7.72)
die Rotationsgeschwindigkeit. Der Relativabstand zweier Punkte ist
|�r1 − �r2| =
�
(x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 + (z1 − z2) 2 (7.73)
Wir zeigen nun, daß auch die Rotation ein Extremalprinzip erfüllt:
von allen starr rotierenden Körpern mit vorgegebenem Drehimpuls, L, liefert hydrostatisches
Gleichgewicht diejenige Konfiguration mit der kleinsten Gesamtenergie, Etot.
δEtot = 0 ; L = L0 (7.74)