Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

374 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Die Entwicklung des Gravitationspotentials Φ nach Multipolmomenten liefert exakt nur Monopol und
Quadrupolanteile:
Φ(r) = − GM
r
− GQ
r 3 P2(cos Θ) (7.99)
und die Stetigkeit des Gravitationspotentials Φ am Rand liefert die Konstanten Ai, was wir hier nicht
zeigen wollen: (Maclaurin, 1742 und Jacobi, 1834)
h(e) = (1 − e2 ) 1/2 arcsin e
e3 (7.100)
A1 =
1 − e2
A2 = h(e) −
e2 A3 =
(7.101)
2
− 2h(e)
e2 (7.102)
A = 2e 2 h(e) (7.103)
Die hydrostatische Gleichgewichtsbedingung verlangt
Ω 2 = 2πGρf(e) wobei
�
c
f(e) = A1 − A3
2
a2 �
oder explizit
und
f(e) =
pc = πGρ 2 c 2 A3
3 − 2e2
e3 (1 − e 2 ) 1/2 arcsin e − 3(1 − e2 )
e2 Die weiteren Relationen folgen daraus:
und
mit
I = 2
5 MR2 (1 − e 2 ) −1/3
Egrav = − 3
2
g(e)GM
5 R
g(e) := (1 − e 2 1/6 arcsin e
)
e
(7.104)
∝ 4
15 e2 + . . . (7.105)
; J = IΩ Drehimpuls (7.106)
(7.107)
∝ 1 − 1
45 e4 + . . . (7.108)
Zum Vergleich geben wir noch die folgenden Näherungen erster Ordnung in e 2 :
δIzz
I0
∝ 1
3 e2
; e 2 = 2f = 15Ω2
8πGρ
Daraus folgt für das Quadrupolmoment Q
Q = 1
2 Qzz = − 3
2 δIzz = − 15Ω2
16πGρ I0
und für das Potential
Φ(r) = − GM
r
= 5
2 m
GQ
−
r3 P2(cos Θ) = − GM
�
1 + J2
r
� �3
�
R
P2(cos Θ)
r
(7.109)
(7.110)