Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

100 KAPITEL 1. GEOMETRIE
3. Ladungserhaltung.
Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt die Ladungserhaltung, welche durch den Strom wie folgt gewährleistet
wird:
∂q
∂t + div�j = 0 (1.142)
Eine relativistische Bewegung wird kovariant mithilfe der Weltlinie x i = x i (s) beschrieben, wobei s die Eigenzeit des
Punktteilchens ist. Die Komponenten der 4-Geschwindigkeit sind
u i = dxi
ds
u i u k gik = 1 (1.143)
Die relativistischen Bewegungs - Gleichungen, also Lorentzkraft, K i , und 4–Beschleunigung, a i = ˙u i , lauten für ein
Elektron mit Masse me
K i = eF ik uk Lorentzkraft (1.144)
me ˙u i = 1
c Ki Bewegungsgleichung ˙u i = dui
dτ
In 3-Schreibweise, nichtrelativistisch, reduziert sich das auf
�
d�ve
me = e �E +
dt �ve
c × � �
B
Die Ladung beschreiben wir mit der Weltlinie x i = x i (T ) und der 4–er Stromdichte
j i �
(X) = ec
(1.145)
(1.146)
δ 4 (X − x(T ′ ) dxi
dT ′ dT ′ = ecδ 3 ( � X − �x(T ))β i (T ) (1.147)
wobei wir β i = u i /u 0 definiert haben. Diese Form der Darstellung der Quellfunktion für die Ladung ist besonders geeignet
zur Untersuchung relativistischer Bewegungen. Kovariant geschrieben lauten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher
Reihenfolge
1. Die inhomogenen Gleichungen.
F ik ,k = − 4π
c ji
2. Die homogenen Gleichungen.
(1.148)
∗ F ik ,k = 0 (1.149)
Mit dem zu F dualen Pseudotensor
∗ F ik = 1
2 ɛiklm Flm
Man erhält den dualen Tensor ∗ F durch die Substitution E → −H und H → E. Der 4er Tensor ɛ iklm ist der
(vollständig antisymmetrische) Levi-Civita Pseudotensor
ɛ iklm = ±1 ; ɛ 0123 = +1
3. Ladungserhaltung.
j i ,i = 0
Die homogenen Gleichungen sind automatisch erfüllt über den Potential-Ansatz
Fik = Ak,i − Ai,k
Die Wellen–Gleichung für das 4-er Potential A, in der Lorentz-Eichung
(1.150)
A i ,i = 0 (1.151)
lautet für jede Komponente A i = f
also
✷f = −∆f + ∂2 f
∂t 2
✷A i = 4π
c ji
(1.152)