Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 139
Sie sind durch Kepler III wie folgt verknüpft:
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 (2.47)
wie man aus Glchg. (2.39) erhält. Ersetzen von a in der Kepler Formel (mithilfe von Glchg. (2.33))
liefert, daß die Periode
P = 2πa 3/2
� �
m m
= πα
α |E| 3
(2.48)
nur von der Energie abhängt, im Falle gravischer Wechselwirkung hängt diese darüber hinaus nur von
der Gesamtmasse ab!
• ANMERKUNG (NÜTZLICHE FORMELN ZUR BERECHNUNG DES LAPLACESCHEN VEKTORS AM PERIHEL)
Zur Berechnung des Laplace-Lenzschen Vektors und für späteren Gebrauch geben wir einige nützliche Formeln.
und
˙φ = J
=
mr2 2π
P (1 − e2 (1 + e cos φ)2
) 3/2
vφ = r ˙ φ = J J
= (1 + e cos φ)
mr mp
Damit wird der erste Term des Laplace-Lenzschen Vektors
rv 2 φ =
� �2 J
p(1 + e cos φ) = α(1 + e cos φ)
mp
Am Perihel also, wo ˙r = 0, wird LL = rv 2 φ − α und daraus folgt LL = eα.
Ferner folgt
e = rmax − rmin
=
rmax − rmin
vmax − vmin
vmax − vmin
Daraus kann, bei normaler Lage der Ellipse, die Exzentrizität bestimmt werden.
2.2.2 Streuung: Die Rutherford-Formel
• ANMERKUNG (KOORDINATEN)
Die Polarkoordinaten r und φ beziehen sich auf den Brennpunkt; φ gemessen ab Perihel; x, y, Φ sind kartesische Koordinaten
bezogen auf den Koordinatenursprung. Im folgenden ist wieder M die Gesamtmasse und m die reduzierte Masse
M = m1 + m2 ; m = m1m2
m1 + m2
Die Kopplungskonstante ist α = GmM = Gm1m2 (Newton) oder α = Z1Z2e 2 (Coulomb).
Für Streuzustände gilt E > 0, d. h. Exzentrizität e > 0. Die Hyperbel hat im Falle von Anziehung die
Bahngleichung:
p
r
mit rmin = p
e+1
(2.49)
= 1 + e cos φ (2.50)
= a(e − 1) und
x = a(e − cosh Φ) y = a(e 2 − 1) 1/2 sinh Φ (2.51)
t = (ma 3 /α) 1/2 (e sinh Φ − Φ) + to (2.52)