Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

284 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Die Temperatur im Innern ist so hoch, daß die Materie vollständig ionisiert ist. Das einfachste N - Teilchenmodell eines
Sterns besteht aus Protonen und Elektronen (ionisierter Wasserstoff).
Statt nun für ein solches System etwa die Schrödingergleichung im selbstkonsistenten Gravitationspotential V zu lösen,
reicht es, die hydrodynamische Näherung zu betrachten (gravische WKB - Näherung). Dazu stellt man sich den Stern in
so kleine Volumenelemente unterteilt vor, daß einerseits noch viele Teilchen in einem solchen Element vorhanden sind,
andrerseits die physikalischen Größen wie Druck P , Temperatur T und Massendichte ρ als konstant angesehen werden
können. Sei λ der mittlere Teilchenabstand, dann muß also
λ∇ρ ≪ ρ
gelten. Für die Sonne ist λ ≈ 10 −8 cm und λ∇ ≈ l/R ≈ 10 −19 .
Im folgenden stellen wir einige Bezeichnungen und Resultate der Thermodynamik zusammen, welche
wir häufiger benötigen werden.
• FORMELN
Dabei gilt für homogene Materie lokal
N, Teilchenzahl; V , Volumen; M, Masse im Volumen;
E, innere Energie; P , Druck; µ, chemisches Potential
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet (lokal, also ohne Gravitation)
dE = −P dV + T dS + �
µidNi
ɛ = E
V
i
und für adiabatische Änderungen dS = 0 wird mit dV = 0 und V dρ = ˜m dN
µ = ˜m dɛ
dρ
für die Energiedichte
P , der Druck ist für konstante Teilchenzahl dN = 0 und für adiabatische Änderungen
� �
2 d ɛ
P = ρ
dρ ρ
was aus der Definitionsgleichung dE = −P dV oder d ɛ
1
ρ = −P d ρ für den Druck folgt.
Ui, die innere Energie ohne Ruhmasse, ist das Integral über die Energiedichte
Ui =
�V
0
ɛ(r)d 3 r =
�M
0
(5.67)
(5.68)
ɛ
dm (5.69)
ρ
Ug, die Gravitationsenergie für kugelsymmetrische Massenverteilung ist
�
−Gm(r)
Ug =
dm (5.70)
r
Die Gravitationsenergie für 2 Teilchen lautet
Ug = −G m1m2 G
=
|�r1 − �r2| 2
bzw. für N Teilchen:
Ug = − G
2
N�
i
N�
�
m1m2 m2m1
+
|�r1 − �r2| |�r2 − �r1|
Dabei ist für Teilchen gleicher Masse m ρ = M
V
�
V (�x) = −G
j
� � ′
mimj
ρ(�x)ρ(�x )
= −G
|�ri − �rj| 2 |�x − �x ′ | d3xd 3 x ′
ρ(�x ′ )
|�x − �x ′ | d3 x ′
= m N
V
�
= mn. Wir definieren das Potential
(5.71)
(5.72)
(5.73)