Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

310 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
5.5.1 Kollaps ohne Druck
Im Falle eines anfänglich homogenen Mediums mit Dichte ρ(t = 0, r) = ρo = const und verschwindendem
Druck, P (t, r) = 0, (d. h. für ein kaltes Gas; ’Staub’ genannt) und den Anfangsbedingungen
1. R(0) = Ro = const
2. ˙ R = ˙ Ro = const
kann die Eulersche Gleichung exakt gelöst werden. Die Bewegung ist homolog (keine Massenschale
überholt die andere)
R(t) = f(t)Ro ; ρ(t) = f −3 (t)ρo
und tritt so auch in der Kosmologie auf. Die Bewegungsgleichung
¨R = −G Mo
R 2
˙R 2 = ˙ R 2 o + 2GMo
� Ro
R
�
− 1
(5.211)
hat das erste Integral (Energiesatz) mit den zwei freien Konstanten Ro (Radius) und ˙ Ro (Anfangsgeschwindigkeit).
Für einen Kollaps aus der Ruhe, v(0) = ˙ Ro = 0, und mit
To =
� �
3 1/2 � �1/2 Ro 3
=
2GM 8πGρo
(5.212)
als Einheit für die Zeitvariable erhält man für den Homologiefaktor f(t) = R/Ro die Differentialgleichung
f˙2 = −1 + 1
f
mit der Lösung in Parameterform
(5.213)
R = Ro
(1 + cos η) (5.214)
2
t = To
(η + sin η) (5.215)
2
Das ist eine Zykloide. Die Variable η läuft von 0 bis π; die Kollapszeit ist
Die Dichte
Tk = π
2 To
� �1/2 3π
=
32Gρo
ρ(t) = ρo (Ro/R) 3
wächst am Anfang wie t 2 , später (beim Kollaps) wie t 2/3 .
(5.216)