Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

390 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Der Wärmestrom in radialer Richtung F = Fr und die Leuchtkraft L(r) hängen wie folgt zusammen:
L(r) = (4πr 2 )Fr(r) (8.63)
und somit wird aus dem Energiesatz divFr = ˙ɛρ
L ′ = 4πr 2 ˙ɛρ (8.64)
Die verbleibende Wärmetransport Gleichung F = −k∇T schreiben wir
P ′ γ = − κρL
4πcr 2
mit κ: Massenabsorptionskoeffizient, oder, mit Pγ = a 4 T 3
T ′ = − 3κρL
16πacr 2 T 3
(8.65)
(8.66)
Mit der Zustandsgleichung, die wir in der Form ρ = ρ(P, T ) schreiben und der Energie - Erzeugungsfunktion
˙ɛρ sind das 4 Gleichungen für die 4 unbekannten Funktionen P, m, L und T .
Die Randbedingungen sind gemischt: zwei am Rand r = R
P (R) = 0 ; T (R) = 0 (8.67) L(0) = 0 ; m(0) = 0 (8.68)
und zwei im Zentrum r = 0.
Zu bestimmen sind die Größen m(R) = M und L(R) = 4πσR 2 T 4 . Dabei ist in diesem vereinfachten
Modell (wo die Atmosphäre des Sterns fehlt) T (R) → Teff zu ersetzen. Dabei gilt spaltenweise, mit
Pγ = a
3 T 4 anstatt T
dm
dr
dP
dr
= 4πρr2
= −ρGm(r)
r 2
(8.69)
(8.70)
dL
dr = 4πr2 ɛρ (8.71)
dPγ
dr
= −ρκL(r)
4πcr 2
Hydrostat. Gleichgewicht Wärmetransport
(8.72)
Für die folgenden zwei Fälle gibt es für diese Gleichungen (des hydrostatischen Gleichgewichts mit
Wärmetransport ohne Turbulenz) analytische Lösungen:
1. Eddingtons Standardmodell
Hier gilt, mit
β = PG
P
und 1 − β = Pγ
P
(8.73)
die Bedingung β = const. Dann sind die beiden Sätze von Gleichungen von hydrostat. Gleichgewicht
einerseits und von Wärmetransport andrerseits proportional.
2. Strömgrens Modell
Falls der Massenabsorptionskoeffizient κ und die Energieerzeungungsrate ˙ɛ nur von Potenzen
von T und ρ abhängen und zwar, mit beliebigem a, n und s:
κ ∝ ρT −3−s
und ˙ɛ ∝ ρ a T n
z. B. Kramers Opazität liefert s = 0.5 und der pp-Zyklus kann mit a = 1 und n = 4 . . . 5
beschrieben werden.